Номер 137, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Точки $M$ и $N$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $M$ и $N$ опущены перпендикуляры $ME$ и $NK$ на линию пересечения плоскостей, $MN = 12$ см, $NK = 6\sqrt{2}$ см, $ME = 6$ см. Найдите углы, которые образует отрезок $MN$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По условию, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), а точка $N$ — в плоскости $\beta$ ($N \in \beta$).

$ME$ и $NK$ — перпендикуляры, опущенные из точек $M$ и $N$ на линию пересечения $l$. Это означает, что $ME \perp l$ и $NK \perp l$, причем точки $E$ и $K$ лежат на прямой $l$.

По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

• Поскольку $ME \subset \alpha$ и $ME \perp l$, то $ME \perp \beta$.
• Поскольку $NK \subset \beta$ и $NK \perp l$, то $NK \perp \alpha$.

Найдем угол, который образует отрезок MN с плоскостью $\alpha$

Углом между отрезком (наклоной) и плоскостью называется угол между этим отрезком и его ортогональной проекцией на эту плоскость.

Так как $NK \perp \alpha$, то отрезок $MK$ является проекцией отрезка $MN$ на плоскость $\alpha$. Следовательно, искомый угол — это $\angle NMK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle NKM$. Поскольку $NK \perp \alpha$, то прямая $NK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $MK$. Это означает, что $\triangle NKM$ — прямоугольный с прямым углом $\angle NKM = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $MN = 12$ см;
• катет $NK = 6\sqrt{2}$ см (противолежащий искомому углу $\angle NMK$).

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$$ \sin(\angle NMK) = \frac{NK}{MN} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$Отсюда находим величину угла:$$ \angle NMK = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $$

Ответ: $45^\circ$.

Найдем угол, который образует отрезок MN с плоскостью $\beta$

Аналогично, найдем угол между отрезком $MN$ и плоскостью $\beta$.

Так как $ME \perp \beta$, то отрезок $NE$ является проекцией отрезка $MN$ на плоскость $\beta$. Следовательно, искомый угол — это $\angle MNE$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MNE$. Поскольку $ME \perp \beta$, то прямая $ME$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$, в том числе и прямой $NE$. Это означает, что $\triangle MNE$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MEN = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $MN = 12$ см;
• катет $ME = 6$ см (противолежащий искомому углу $\angle MNE$).

Найдем синус угла $\angle MNE$:$$ \sin(\angle MNE) = \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$Отсюда находим величину угла:$$ \angle MNE = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ $$

Ответ: $30^\circ$.