Номер 117, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Треугольники $ABC$ и $ADC$ не лежат в одной плоскости. Найдите углы, которые образуют прямые $AD$ и $CD$ с плоскостью $ABC$, если $AD = CD$, $\angle ADC = 90^\circ$, $\angle ABC = 120^\circ$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Угол, который образует прямая AD с плоскостью ABC

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.По условию задачи, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что точка $B$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$. Следовательно:

• Проекцией наклонной $AD$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$.
• Проекцией наклонной $CD$ на плоскость $ABC$ является отрезок $CB$.

Таким образом, угол, который образует прямая $AD$ с плоскостью $ABC$, — это угол $\angle DAB$.Поскольку $BD \perp (ABC)$, то прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $BD \perp AB$. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. По условию, $AD = CD$ и $\angle ADC = 90^\circ$. Это значит, что $\triangle ADC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть катеты $AD = CD = a$. Тогда по теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:$AC^2 = AD^2 + CD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AC = a\sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. У них общий катет $BD$, а гипотенузы $AD$ и $CD$ равны по условию ($AD=CD=a$). Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по катету и гипотенузе. Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Применим к $\triangle ABC$ теорему косинусов для нахождения боковой стороны $AB$:$AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(\angle ABC)$$(a\sqrt{2})^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \cos(120^\circ)$$2a^2 = 2AB^2 - 2AB^2 \cdot (-\frac{1}{2})$$2a^2 = 2AB^2 + AB^2$$2a^2 = 3AB^2$$AB^2 = \frac{2a^2}{3} \implies AB = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь, зная длину катета $AB$ и гипотенузы $AD$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$, мы можем найти косинус искомого угла $\angle DAB$:$\cos(\angle DAB) = \frac{AB}{AD} = \frac{a\sqrt{6}/3}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Угол, который образует прямая CD с плоскостью ABC

Аналогично первому пункту, угол, который образует прямая $CD$ с плоскостью $ABC$, — это угол между наклонной $CD$ и её проекцией $CB$, то есть угол $\angle DCB$.

Как было показано ранее при доказательстве равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, соответствующие углы $\angle DAB$ и $\angle DCB$ равны.$\angle DCB = \angle DAB = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Таким образом, угол, образуемый прямой $CD$ с плоскостью $ABC$, также равен $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{3})$.