Номер 118, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Двугранный угол. Угол между плоскостями

118. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $60^\circ$, отметили точку C. Расстояние от точки C до другой грани двугранного угла равно $5\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки C до ребра двугранного угла.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла). По условию, величина этого угла равна $60^\circ$.

На одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$, отмечена точка $C$.

Расстояние от точки $C$ до другой грани ($\beta$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Тогда $CH \perp \beta$, и по условию длина отрезка $CH = 5\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $C$ до ребра $a$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $a$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $A$. Тогда $CA \perp a$. Длину этого отрезка $CA$ нам и нужно найти.

Рассмотрим треугольник $CAH$.

• $CA$ — наклонная к плоскости $\beta$.
• $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$.
• $AH$ — проекция наклонной $CA$ на плоскость $\beta$.

Поскольку $CA \perp a$ (по построению) и $a$ — это прямая, лежащая в плоскости $\beta$, то по теореме о трёх перпендикулярах, проекция $AH$ также перпендикулярна прямой $a$. То есть, $AH \perp a$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ребру и лежащими в разных гранях. В нашем случае, $CA \perp a$ и $CA$ лежит в грани $\alpha$, а $AH \perp a$ и $AH$ лежит в грани $\beta$. Следовательно, угол $\angle CAH$ является линейным углом данного двугранного угла, и его величина равна $60^\circ$.

Так как $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $AH$ лежит в этой плоскости, то $CH \perp AH$. Это означает, что треугольник $CAH$ — прямоугольный, с прямым углом $H$.

В прямоугольном треугольнике $CAH$ нам известны:

• катет $CH = 5\sqrt{3}$ см;
• противолежащий этому катету угол $\angle CAH = 60^\circ$.

Нужно найти гипотенузу $CA$.

Воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle CAH) = \frac{CH}{CA}$

Отсюда выразим $CA$: $CA = \frac{CH}{\sin(\angle CAH)}$

Подставим известные значения: $CA = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $CA = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Ответ: 10 см.