Номер 112, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Точка $M$ лежит вне плоскости квадрата $ABCD$, а наклонные $MA$, $MB$, $MC$ и $MD$ образуют равные углы с плоскостью $ABC$. Докажите, что проекцией точки $M$ на плоскость этого квадрата является его центр.

Пусть O — проекция точки M на плоскость квадрата ABCD. По определению проекции, прямая MO перпендикулярна плоскости (ABC), то есть $MO \perp (ABC)$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекциями наклонных MA, MB, MC и MD на плоскость (ABC) являются отрезки OA, OB, OC и OD соответственно.

Следовательно, углы, которые наклонные MA, MB, MC и MD образуют с плоскостью (ABC), — это углы $\angle MAO$, $\angle MBO$, $\angle MCO$ и $\angle MDO$. По условию задачи, все эти углы равны. Обозначим их величину через $\alpha$: $\angle MAO = \angle MBO = \angle MCO = \angle MDO = \alpha$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$, $\triangle MOC$ и $\triangle MOD$. Поскольку прямая MO перпендикулярна плоскости (ABC), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $MO \perp OA$, $MO \perp OB$, $MO \perp OC$ и $MO \perp OD$. Таким образом, все четыре треугольника являются прямоугольными с прямым углом при вершине O.

Сравним эти четыре прямоугольных треугольника. У них есть общий катет MO и равные острые углы, противолежащие этому катету: $\angle MAO = \angle MBO = \angle MCO = \angle MDO = \alpha$. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$, $\triangle MOC$ и $\triangle MOD$ равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их вторые катеты: $OA = OB = OC = OD$.

Это означает, что точка O, лежащая в плоскости квадрата ABCD, равноудалена от всех его вершин (A, B, C, D). Точка в плоскости многоугольника, равноудаленная от всех его вершин, является центром описанной около этого многоугольника окружности. Для квадрата центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей, которая и называется центром квадрата.

Таким образом, доказано, что проекция точки M на плоскость квадрата ABCD является его центром.

Ответ: Утверждение доказано. Проекцией точки M на плоскость квадрата является его центр.