Номер 91, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $C$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $D$ и $F$ — плоскости $\beta$, отрезок $CD$ на 4 см больше отрезка $EF$. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если проекции отрезков $CD$ и $EF$ на плоскость $\alpha$ равны соответственно $8\sqrt{3}$ см и $2\sqrt{14}$ см.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки в одной плоскости на другую плоскость.

Рассмотрим отрезок $CD$, где $C \in \alpha$ и $D \in \beta$. Проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CD'$, где $D'$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $DD'$ равна расстоянию между плоскостями, то есть $DD' = h$.

Отрезок $CD$, его проекция $CD'$ и перпендикуляр $DD'$ образуют прямоугольный треугольник $CDD'$, в котором $CD$ — гипотенуза, а $CD'$ и $DD'$ — катеты. По теореме Пифагора:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

По условию, проекция отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ равна $8\sqrt{3}$ см. Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = (8\sqrt{3})^2 + h^2 = 64 \cdot 3 + h^2 = 192 + h^2$ (1)

Аналогично рассмотрим отрезок $EF$, где $E \in \alpha$ и $F \in \beta$. Его проекция на плоскость $\alpha$ — это отрезок $EF'$, а перпендикуляр $FF'$ также равен $h$. В прямоугольном треугольнике $EFF'$ по теореме Пифагора:

$EF^2 = (EF')^2 + (FF')^2$

По условию, проекция отрезка $EF$ на плоскость $\alpha$ равна $2\sqrt{14}$ см. Подставим значения:

$EF^2 = (2\sqrt{14})^2 + h^2 = 4 \cdot 14 + h^2 = 56 + h^2$ (2)

Также из условия задачи известно, что отрезок $CD$ на 4 см больше отрезка $EF$:

$CD = EF + 4$ (3)

Получили систему из трех уравнений. Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

$CD^2 - EF^2 = (192 + h^2) - (56 + h^2)$

$CD^2 - EF^2 = 136$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(CD - EF)(CD + EF) = 136$

Из уравнения (3) мы знаем, что $CD - EF = 4$. Подставим это значение:

$4(CD + EF) = 136$

$CD + EF = \frac{136}{4}$

$CD + EF = 34$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} CD - EF = 4 \\ CD + EF = 34 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(CD - EF) + (CD + EF) = 4 + 34$

$2 \cdot CD = 38$

$CD = 19$ см

Теперь, зная длину $CD$, найдем расстояние $h$ из уравнения (1):

$CD^2 = 192 + h^2$

$19^2 = 192 + h^2$

$361 = 192 + h^2$

$h^2 = 361 - 192$

$h^2 = 169$

$h = \sqrt{169} = 13$ см

Таким образом, расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 13 см.

Ответ: 13 см.