Номер 84, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MB$ и $MA$, длины которых относятся как 5 : 7. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $MB$ и $MA$ на эту плоскость равны 12 см и $12\sqrt{2}$ см.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость α. Тогда искомое расстояние от точки M до плоскости α есть длина отрезка MH. Обозначим $MH = h$.

Отрезки MA и MB — наклонные к плоскости α, а отрезки HA и HB — их проекции на эту плоскость. Треугольники ΔMHA и ΔMHB являются прямоугольными с прямым углом при вершине H.

По условию, длины наклонных относятся как $5:7$, то есть $MB : MA = 5:7$. Пусть $MB = 5x$ и $MA = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (наклонная) всегда больше катета (проекции). Также, для наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости, большей наклонной соответствует большая проекция.

Сравним длины проекций: $12$ см и $12\sqrt{2}$ см. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $12\sqrt{2} > 12$.

Так как $MA = 7x > MB = 5x$, то наклонной MA соответствует проекция $HA = 12\sqrt{2}$ см, а наклонной MB соответствует проекция $HB = 12$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ΔMHB и ΔMHA:

• Из ΔMHB: $MB^2 = MH^2 + HB^2 \implies (5x)^2 = h^2 + 12^2 \implies 25x^2 = h^2 + 144$
• Из ΔMHA: $MA^2 = MH^2 + HA^2 \implies (7x)^2 = h^2 + (12\sqrt{2})^2 \implies 49x^2 = h^2 + 144 \cdot 2 \implies 49x^2 = h^2 + 288$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $h$ и $x$: $$ \begin{cases} 25x^2 = h^2 + 144 \\ 49x^2 = h^2 + 288 \end{cases} $$

Выразим $h^2$ из первого уравнения: $h^2 = 25x^2 - 144$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$49x^2 = (25x^2 - 144) + 288$

$49x^2 = 25x^2 + 144$

$49x^2 - 25x^2 = 144$

$24x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{24} = 6$

Теперь найдем $h^2$, подставив значение $x^2$ в выражение для $h^2$:

$h^2 = 25x^2 - 144 = 25 \cdot 6 - 144 = 150 - 144 = 6$

Следовательно, искомое расстояние $h = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.