Номер 88, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Точка K находится на расстоянии 17 см от каждой вершины квадрата и на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите сторону квадрата.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, а $K$ — точка, находящаяся вне его плоскости.

Расстояние от точки $K$ до плоскости квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. По условию, длина этого перпендикуляра $KO = 8$ см, и $KO \perp (ABCD)$.

Также по условию, точка $K$ находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины квадрата. Это означает, что наклонные, проведенные из точки $K$ к вершинам квадрата, равны: $KA = KB = KC = KD = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KAO$, $\triangle KBO$, $\triangle KCO$ и $\triangle KDO$. Они прямоугольные, так как $KO$ перпендикулярен плоскости квадрата, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. У этих треугольников:

• Общий катет $KO$.
• Равные гипотенузы $KA = KB = KC = KD = 17$ см.

Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$.

Точка $O$ в плоскости квадрата, равноудаленная от всех его вершин, является центром квадрата, то есть точкой пересечения его диагоналей. Таким образом, отрезок $OA$ является половиной диагонали квадрата.

Найдем длину отрезка $OA$ из прямоугольного треугольника $\triangle KAO$ по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $KA^2 = KO^2 + OA^2$ Подставим известные значения: $17^2 = 8^2 + OA^2$ $289 = 64 + OA^2$ $OA^2 = 289 - 64$ $OA^2 = 225$ $OA = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длину всей диагонали квадрата, например, $AC$. Так как $O$ — середина диагонали, то: $d = AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ квадрата связана с его стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Выразим сторону $a$: $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $a = \frac{30 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ см.

Ответ: $15\sqrt{2}$ см.