Номер 33, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. На ребре $SA$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $B$ и $D$ и параллельной прямой $AC$.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $D$, и параллельна прямой $AC$ ($\alpha \parallel AC$). Для построения сечения найдем линии его пересечения с гранями тетраэдра.

1. Точка $D$ лежит на ребре $SA$, которое принадлежит грани $SAC$. Прямая $AC$ также лежит в этой грани. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, то она пересекает плоскость грани $SAC$ по прямой, параллельной $AC$. Проведем в плоскости $(SAC)$ через точку $D$ прямую, параллельную $AC$.
2. Эта прямая пересечет ребро $SC$ в некоторой точке, которую мы обозначим $E$. Отрезок $DE$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SAC$. По построению $DE \parallel AC$.
3. Теперь у нас есть три точки, принадлежащие секущей плоскости: $B, D, E$. Так как эти точки не лежат на одной прямой, они задают плоскость $\alpha$. Соединим эти точки отрезками, чтобы получить стороны многоугольника, являющегося сечением.
4. Отрезок $DB$ соединяет точки $D$ на ребре $SA$ и вершину $B$. Он полностью лежит в грани $SAB$ и является одной из сторон сечения.
5. Отрезок $BE$ соединяет вершину $B$ и точку $E$ на ребре $SC$. Он полностью лежит в грани $SBC$ и также является стороной сечения.
6. Отрезок $ED$ уже построен, он лежит в грани $SAC$.

В результате мы получили треугольник $DBE$. Этот треугольник является искомым сечением тетраэдра $SABC$. Плоскость $(DBE)$ проходит через точки $B$ и $D$ по построению. Она параллельна прямой $AC$ по признаку параллельности прямой и плоскости, так как содержит прямую $DE$, параллельную $AC$.

Ответ: Искомое сечение – это треугольник $DBE$, где точка $E$ является точкой пересечения ребра $SC$ с прямой, проведенной в плоскости грани $SAC$ через точку $D$ параллельно прямой $AC$.