Страница 103 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Многогранники

1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 17 см, а основание — 16 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её боковое ребро равно 10 см.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 17 см и основанием 16 см. Для вычисления площади проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка: $16 / 2 = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 8^2 = 17^2$

$h^2 + 64 = 289$

$h^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь вычислим площадь основания (площадь треугольника):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см².

Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$), которая равна ее боковому ребру.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Сначала найдем периметр основания:

$P_{осн} = 17 + 17 + 16 = 50$ см.

Высота призмы (боковое ребро) по условию равна $H = 10$ см.

$S_{бок} = 50 \cdot 10 = 500$ см².

Найдем площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$)

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, сложив площадь боковой поверхности и две площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 500 + 2 \cdot 120 = 500 + 240 = 740$ см².

Ответ: 740 см².

2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — $\sqrt{34}$ см. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

1) высоту пирамиды;
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона основания $a = 6$ см, а боковое ребро $l = \sqrt{34}$ см. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания — точку пересечения диагоналей квадрата. Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой. Сначала найдём длину диагонали основания $d$. Для квадрата со стороной $a$: $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см. Половина диагонали равна: $R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Теперь, используя теорему Пифагора ($H^2 + R^2 = l^2$), найдём высоту $H$: $H^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{34})^2$ $H^2 + 9 \cdot 2 = 34$ $H^2 + 18 = 34$ $H^2 = 34 - 18$ $H^2 = 16$ $H = \sqrt{16} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырёх одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Площадь одной такой грани равна половине произведения её основания (стороны квадрата $a$) на её высоту, которая называется апофемой пирамиды ($h_s$). $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} a \cdot h_s) = 2 \cdot a \cdot h_s$. Чтобы найти апофему $h_s$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ (гипотенуза) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (его длина равна $a/2$). Из пункта 1 мы знаем, что $H = 4$ см. Половина стороны основания равна $a/2 = 6/2 = 3$ см. По теореме Пифагора ($h_s^2 = H^2 + (a/2)^2$): $h_s^2 = 4^2 + 3^2$ $h_s^2 = 16 + 9 = 25$ $h_s = \sqrt{25} = 5$ см. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot a \cdot h_s = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ см².
Ответ: 60 см².

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 12 см и 20 см, а боковое ребро — $2\sqrt{13}$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Поскольку пирамида правильная треугольная, её боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных трапеций.

Дано:
Сторона большего основания (правильного треугольника) $a_1 = 20$ см.
Сторона меньшего основания (правильного треугольника) $a_2 = 12$ см.
Боковое ребро $l = 2\sqrt{13}$ см.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти по формуле:$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап}$, где $S_{трап}$ — площадь одной боковой грани (трапеции).

Площадь трапеции вычисляется как $S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$, где $h_a$ — высота трапеции, которая также является апофемой усечённой пирамиды.

Найдём апофему $h_a$. Рассмотрим боковую грань — равнобедренную трапецию. Если провести высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, будет равен полуразности оснований трапеции:
$x = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Этот катет, апофема $h_a$ (второй катет) и боковое ребро $l$ (гипотенуза) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$l^2 = h_a^2 + x^2$
Подставим известные значения:
$(2\sqrt{13})^2 = h_a^2 + 4^2$
$4 \cdot 13 = h_a^2 + 16$
$52 = h_a^2 + 16$
$h_a^2 = 52 - 16$
$h_a^2 = 36$
$h_a = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{20 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{32}{2} \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96$ см².

Площадь всей боковой поверхности равна утроенной площади одной грани:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 96 = 288$ см².

Ответ: $288$ см².

4. Основанием пирамиды является ромб с тупым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $β$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для такой пирамиды площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связана с площадью основания $S_{осн}$ следующей формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$

Найдем площадь основания, которое является ромбом. Пусть $d_1 = d$ — большая диагональ ромба, а $d_2$ — меньшая диагональ. Большая диагональ лежит напротив тупого угла $α$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, делят углы ромба пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Угол, противолежащий катету $\frac{d_1}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда для второго катета $\frac{d_2}{2}$ справедливо соотношение:

$\frac{d_2/2}{d_1/2} = \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим $d_1=d$:

$\frac{d_2}{d} = \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \implies d_2 = d \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} d \left(d \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta} = \frac{\frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\beta} = \frac{d^2 \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\beta}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{d^2 \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\beta}$

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $H$ падает в центр вписанной в ромб окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Угол между апофемой и радиусом (плоскостью основания) равен данному двугранному углу $β$.

Из этого треугольника следует:

$\mathrm{tg}\beta = \frac{H}{r} \implies H = r \cdot \mathrm{tg}\beta$

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Он равен половине высоты ромба $h_{ромба}$.

$r = \frac{h_{ромба}}{2}$

Высоту ромба можно выразить через его площадь и сторону. Найдем сторону ромба $a$ из прямоугольного треугольника с катетами $\frac{d}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$:

$a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{d^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4} = \frac{d^2}{4}\left(1 + \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + \mathrm{ctg}^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$, получаем:

$a^2 = \frac{d^2}{4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \implies a = \frac{d}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда:

$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{d}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{d^2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{d} = d \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь находим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Наконец, подставляем значение $r$ в формулу для высоты пирамиды $H$:

$H = r \cdot \mathrm{tg}\beta = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}\beta$

Ответ: $H = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}\beta$

5. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 12 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 5 см и углом 120° между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы можно найти по формуле: $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

По условию, длина бокового ребра $l = 12$ см. Перпендикулярное сечение — это треугольник, у которого известны две стороны ($a = 3$ см, $b = 5$ см) и угол между ними ($\gamma = 120°$).

Для нахождения периметра этого треугольника необходимо сначала найти его третью сторону ($c$). Воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -0.5$, получаем:

$c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-0.5) = 34 + 15 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения:

$P_{перп} = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².