Номер 3, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Через вершину $D$ треугольника $DEF$, в котором $DE = DF$, проведён перпендикуляр $BD$ к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями $DEF$ и $BEF$, если $EF = 10$ см, $BE = 7$ см, $BD = 2\sqrt{3}$ см.

Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к их линии пересечения в одной и той же точке.

Плоскости $(DEF)$ и $(BEF)$ пересекаются по прямой $EF$.

1. Рассмотрим треугольник $DEF$. По условию он равнобедренный, так как $DE = DF$. Проведем в этом треугольнике высоту $DM$ к основанию $EF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ – середина отрезка $EF$.
$EM = MF = \frac{EF}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Так как $DM$ – высота, то $DM \perp EF$.

2. По условию, $BD \perp (DEF)$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $DEF$. В частности, $BD \perp DE$ и $BD \perp DM$.
$DM$ – это проекция наклонной $BM$ на плоскость $(DEF)$.
Так как проекция $DM$ перпендикулярна прямой $EF$ в плоскости $(DEF)$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $BM$ перпендикулярна прямой $EF$. То есть, $BM \perp EF$.

3. Мы получили, что $DM \perp EF$ и $BM \perp EF$. Следовательно, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(DEF)$ и $(BEF)$. Нам нужно найти величину этого угла.

4. Рассмотрим $\triangle BDE$. Так как $BD \perp (DEF)$, то $BD \perp DE$, и $\triangle BDE$ – прямоугольный. По теореме Пифагора:
$BE^2 = BD^2 + DE^2$
$DE^2 = BE^2 - BD^2 = 7^2 - (2\sqrt{3})^2 = 49 - 4 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$
$DE = \sqrt{37}$ см.

5. Рассмотрим $\triangle DME$. Так как $DM$ – высота, то $\triangle DME$ – прямоугольный ($ \angle DME = 90^\circ $). По теореме Пифагора:
$DE^2 = DM^2 + EM^2$
$DM^2 = DE^2 - EM^2 = 37 - 5^2 = 37 - 25 = 12$
$DM = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

6. Рассмотрим $\triangle BMD$. Так как $BD \perp (DEF)$, то $BD \perp DM$, следовательно, $\triangle BMD$ – прямоугольный ($ \angle BDM = 90^\circ $).
Мы знаем длины катетов этого треугольника:
$BD = 2\sqrt{3}$ см (по условию).
$DM = 2\sqrt{3}$ см (из пункта 5).
Так как катеты равны, $\triangle BMD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны $45^\circ$.
Можно также найти тангенс искомого угла $\angle BMD$:
$\text{tg}(\angle BMD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BD}{DM} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$
Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
Следовательно, $\angle BMD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.