Номер 151, страница 279 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.151. Масса одного кубического сантиметра некоторого серебристо-белого металла равна 7,874 г. Металл имеет ОЦК-решётку, металлический радиус атома равен 1,24 А. Определите металл.

Дано:

Плотность металла ($\rho$) = 7,874 г/см³
Тип кристаллической решётки = ОЦК (объёмно-центрированная кубическая)
Металлический радиус атома ($r$) = 1,24 Å
Число Авогадро ($N_A$) = $6,022 \times 10^{23}$ моль^-1

$\rho = 7,874 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7874 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$r = 1,24 \text{ Å} = 1,24 \times 10^{-10} \text{ м}$

Найти:

Определить металл.

Решение:

Для определения металла необходимо рассчитать его молярную массу ($M$). Молярную массу можно найти, используя формулу плотности вещества через параметры его кристаллической решётки:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}} = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot V_{ячейки}}$

где $n$ — число атомов в элементарной ячейке, $M$ — молярная масса, $N_A$ — число Авогадро, а $V_{ячейки}$ — объём элементарной ячейки.

1. Определим число атомов в элементарной ячейке ($n$) для ОЦК-решётки. В объёмно-центрированной кубической решётке атомы находятся в вершинах куба (8 вершин) и один атом в центре куба. Атом в каждой вершине принадлежит 8 соседним ячейкам, а центральный атом принадлежит только одной ячейке. Таким образом:

$n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 2$ атома.

2. Определим объём элементарной ячейки ($V_{ячейки}$). Для этого сначала найдём параметр решётки $a$ (длину ребра куба). В ОЦК-решётке атомы соприкасаются вдоль пространственной диагонали куба. Длина этой диагонали равна $4r$. Также длина пространственной диагонали куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$a\sqrt{3} = 4r$

Отсюда выразим параметр решётки $a$:

$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$

Для удобства расчетов переведем радиус из ангстрем в сантиметры: $r = 1,24 \text{ Å} = 1,24 \times 10^{-8} \text{ см}$.

$a = \frac{4 \cdot 1,24 \times 10^{-8} \text{ см}}{\sqrt{3}} \approx \frac{4,96 \times 10^{-8} \text{ см}}{1,732} \approx 2,864 \times 10^{-8} \text{ см}$

Теперь найдем объем кубической ячейки:

$V_{ячейки} = a^3 = (2,864 \times 10^{-8} \text{ см})^3 \approx 2,349 \times 10^{-23} \text{ см}^3$

3. Выразим молярную массу $M$ из формулы плотности и подставим известные значения:

$M = \frac{\rho \cdot N_A \cdot V_{ячейки}}{n}$

$M = \frac{7,874 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 2,349 \times 10^{-23} \text{ см}^3}{2}$

$M \approx \frac{111,54 \text{ г/моль}}{2} \approx 55,77 \text{ г/моль}$

4. Сравним полученное значение молярной массы с данными из периодической таблицы химических элементов. Полученное значение $M \approx 55,77 \text{ г/моль}$ очень близко к молярной массе железа (Fe), которая составляет 55,845 г/моль. Кроме того, железо — это серебристо-белый металл, который при комнатной температуре имеет ОЦК-решётку (модификация $\alpha$-Fe), а его плотность составляет 7,874 г/см³. Все данные совпадают.

Ответ: Железо (Fe).