Номер 153, страница 279 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.153. Золото имеет гранецентрированную кубическую структуру. Плотность золота 19,3 г/см3. Рассчитайте длину ребра элементарной ячейки и металлический радиус атома.

Дано:

Кристаллическая структура золота (Au) - гранецентрированная кубическая (ГЦК)
Плотность $\rho = 19,3 \text{ г/см}^3$
Молярная масса золота $M_{Au} \approx 197 \text{ г/моль}$
Число Авогадро $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$a$ — длина ребра элементарной ячейки
$r$ — металлический радиус атома

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его элементарной ячейки через формулу: $\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$ где $m_{ячейки}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{ячейки}$ — объем ячейки.

Для кубической ячейки с ребром $a$, объем равен $V_{ячейки} = a^3$.

Масса ячейки равна произведению числа атомов в ячейке ($n$) на массу одного атома ($m_a$). Для гранецентрированной кубической (ГЦК) структуры число атомов $n=4$. Это число складывается из 8 атомов в вершинах куба (каждый принадлежит ячейке на 1/8) и 6 атомов в центрах граней (каждый принадлежит ячейке на 1/2): $n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$ атома.

Масса одного атома золота ($m_a$) вычисляется как отношение молярной массы ($M$) к числу Авогадро ($N_A$): $m_a = \frac{M}{N_A}$

Таким образом, формула для плотности принимает вид: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$

Длина ребра элементарной ячейки

Из общей формулы для плотности выразим длину ребра элементарной ячейки $a$: $a^3 = \frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A}}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $a = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 0,197 \text{ кг/моль}}{19300 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}}$ $a = \sqrt[3]{\frac{0,788}{1,162 \cdot 10^{28}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{6,78 \cdot 10^{-29}} \text{ м} = \sqrt[3]{67,8 \cdot 10^{-30}} \text{ м}$ $a \approx 4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Длина ребра элементарной ячейки золота составляет $a \approx 4,08 \cdot 10^{-10}$ м (или 0,408 нм).

Металлический радиус атома

В ГЦК решетке атомы касаются друг друга вдоль диагонали каждой грани куба. Длина диагонали грани ($d$) связана с длиной ребра ячейки ($a$) по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. С другой стороны, эта диагональ равна четырем радиусам атома ($d = 4r$), так как она проходит через центр одного атома (диаметр $2r$) и радиусы двух угловых атомов.

Приравниваем два выражения для диагонали: $a\sqrt{2} = 4r$

Отсюда можем выразить металлический радиус атома $r$: $r = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Подставим ранее найденное значение $a$: $r = \frac{(4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}) \cdot \sqrt{2}}{4} \approx \frac{(4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}) \cdot 1,414}{4}$ $r \approx 1,44 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Металлический радиус атома золота составляет $r \approx 1,44 \cdot 10^{-10}$ м (или 0,144 нм).