Номер 160, страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.160. Вычислите расстояние Be–Те в структуре ВеТе (структурный тип сфалерита), если плотность кристаллов 5,1 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$

Дано:

Соединение: BeTe
Тип кристаллической структуры: сфалерит (ZnS)
Плотность: $\rho = 5.1 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:
$\rho = 5.1 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 5.1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$
Молярная масса бериллия $M(\text{Be}) \approx 9.012 \text{ г/моль} = 9.012 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса теллура $M(\text{Te}) \approx 127.60 \text{ г/моль} = 127.60 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса теллурида бериллия $M(\text{BeTe}) = M(\text{Be}) + M(\text{Te}) = 9.012 + 127.60 = 136.612 \text{ г/моль} = 136.612 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Число Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Число формульных единиц в элементарной ячейке структуры сфалерита $Z = 4$

Найти:

Расстояние Be—Te, $d(\text{Be-Te})$

Решение:

Плотность кристалла связана с параметрами его элементарной ячейки формулой: $\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$, где $m_{яч}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{яч}$ — её объём.

Масса элементарной ячейки определяется как произведение числа формульных единиц $Z$ на массу одной формульной единицы, которая равна $\frac{M}{N_A}$: $m_{яч} = Z \cdot \frac{M(\text{BeTe})}{N_A}$

Объём кубической ячейки равен $V_{яч} = a^3$, где $a$ — параметр (длина ребра) элементарной ячейки.

Таким образом, формула для плотности принимает вид: $\rho = \frac{Z \cdot M(\text{BeTe})}{a^3 \cdot N_A}$

Выразим из этой формулы параметр решётки $a$. Сначала найдём объём ячейки $a^3$: $a^3 = \frac{Z \cdot M(\text{BeTe})}{\rho \cdot N_A}$

Подставим известные значения и вычислим объём ячейки: $a^3 = \frac{4 \cdot 136.612 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{5.1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{546.448 \cdot 10^{-3}}{30.7122 \cdot 10^{26}} \text{ м}^3 \approx 17.79 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3$

Для удобства извлечения кубического корня представим объём как $a^3 \approx 177.9 \cdot 10^{-30} \text{ м}^3$. Тогда параметр решётки $a$: $a = \sqrt[3]{177.9 \cdot 10^{-30} \text{ м}^3} \approx 5.624 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

В кристаллической структуре типа сфалерита (ZnS) атомы одного элемента образуют гранецентрированную кубическую решётку, а атомы другого элемента занимают половину тетраэдрических пустот в этой решётке. Кратчайшее межатомное расстояние (в данном случае, длина связи Be—Te) соответствует расстоянию между вершиной тетраэдра и его центром. Это расстояние равно четверти длины пространственной диагонали кубической ячейки.

Длина пространственной диагонали куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, расстояние Be—Te вычисляется по формуле: $d(\text{Be-Te}) = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение параметра решётки $a$: $d(\text{Be-Te}) = \frac{5.624 \cdot 10^{-10} \text{ м} \cdot \sqrt{3}}{4} \approx \frac{5.624 \cdot 10^{-10} \cdot 1.732}{4} \text{ м} \approx \frac{9.740 \cdot 10^{-10}}{4} \text{ м} \approx 2.435 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Для межатомных расстояний удобно использовать единицы измерения пикометры (пм), где $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$: $d(\text{Be-Te}) = 2.435 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 243.5 \text{ пм}$

Ответ: расстояние Be—Te в структуре BeTe составляет $243.5 \text{ пм}$.