Номер 161, страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.161. Одна из кристаллических форм белого фосфора имеет кубическую элементарную ячейку с ребром 0,757 нм. Плотность белого фосфора равна 1,828 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Сколько молекул фосфора входит в состав одной ячейки?

Дано:

Тип кристаллической ячейки: кубическая

Ребро элементарной ячейки: $a = 0,757 \text{ нм}$

Плотность белого фосфора: $\rho = 1,828 \text{ г/см³}$

Вещество: белый фосфор, состоящий из молекул $P_4$.

Молярная масса фосфора (P): $M_r(P) \approx 30,97 \text{ г/мол}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \text{ мол}^{-1}$

Переведем данные в единую систему (г, см):

$a = 0,757 \text{ нм} = 0,757 \times 10^{-7} \text{ см}$

$\rho = 1,828 \text{ г/см³}$

Найти:

Число молекул фосфора в одной элементарной ячейке: $Z$

Решение:

Плотность вещества в кристаллическом состоянии связана с параметрами элементарной ячейки следующей формулой:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$

где $m_{ячейки}$ – масса вещества в одной элементарной ячейке, а $V_{ячейки}$ – объем одной элементарной ячейки.

Так как ячейка кубическая, ее объем равен кубу длины ребра:

$V_{ячейки} = a^3 = (0,757 \times 10^{-7} \text{ см})^3 \approx 0,4338 \times 10^{-21} \text{ см}^3$

Масса вещества в ячейке равна произведению числа молекул $Z$ в ячейке на массу одной молекулы $m_{молекулы}$:

$m_{ячейки} = Z \cdot m_{молекулы}$

Массу одной молекулы белого фосфора ($P_4$) можно найти через его молярную массу $M(P_4)$ и число Авогадро $N_A$.

Молярная масса молекулы $P_4$ равна учетверенной молярной массе атома фосфора:

$M(P_4) = 4 \cdot M_r(P) = 4 \cdot 30,97 \text{ г/мол} = 123,88 \text{ г/мол}$

Тогда масса одной молекулы:

$m_{молекулы} = \frac{M(P_4)}{N_A}$

Подставим все выражения в формулу для плотности:

$\rho = \frac{Z \cdot M(P_4)}{N_A \cdot a^3}$

Выразим из этой формулы искомое число молекул $Z$:

$Z = \frac{\rho \cdot N_A \cdot a^3}{M(P_4)}$

Подставим числовые значения:

$Z = \frac{1,828 \text{ г/см³} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ мол}^{-1} \cdot (0,757 \times 10^{-7} \text{ см})^3}{123,88 \text{ г/мол}}$

$Z = \frac{1,828 \cdot 6,022 \times 10^{23} \cdot 0,4338 \times 10^{-21}}{123,88}$

$Z = \frac{1,828 \cdot 6,022 \cdot 0,4338 \cdot 10^2}{123,88} = \frac{477,3}{123,88} \approx 3,85$

Число молекул в элементарной ячейке должно быть целым числом. Полученное значение близко к 4. Расхождение, вероятнее всего, связано с погрешностями в исходных данных. Поэтому округляем результат до ближайшего целого числа.

$Z = 4$

Ответ: в состав одной элементарной ячейки входит 4 молекулы фосфора.