Номер 163, страница 281 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.163. Найдите расстояние между центрами соседних молекул фуллерена ${\mathrm{C}}_{60}$ в его низкотемпературной модификации (плотность 1,7 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3),$ которая имеет примитивную кубическую решётку, где молекулы находятся только в вершинах кубической элементарной ячейки.

Дано:

Молекула: фуллерен C₆₀
Тип решётки: примитивная кубическая
Плотность: $ \rho = 1,7 \text{ г/см}^3 $
Постоянная Авогадро: $ N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} $
Молярная масса углерода: $ M_r(\text{C}) = 12 \text{ г/моль} $

Перевод в систему СИ:
$ \rho = 1,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,7 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} $

Найти:

Расстояние между центрами соседних молекул $d$.

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его элементарной ячейки формулой:

$ \rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{Z \cdot m_0}{a^3} $

где $Z$ — число молекул, приходящихся на одну элементарную ячейку, $m_0$ — масса одной молекулы, $a$ — параметр (длина ребра) элементарной ячейки, $V_{яч} = a^3$ — объём элементарной ячейки.

В примитивной кубической решётке молекулы находятся только в вершинах куба. Каждая из 8 вершин принадлежит одновременно 8 ячейкам, поэтому на одну ячейку приходится:

$ Z = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1 $ молекула

В такой решётке соседние молекулы расположены вдоль рёбер куба, и расстояние между их центрами равно параметру решётки $a$. Следовательно, искомое расстояние $d=a$.

Массу одной молекулы фуллерена $m_0$ можно найти через его молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$ m_0 = \frac{M}{N_A} $

Молярная масса фуллерена C₆₀ равна:

$ M = 60 \cdot M_r(\text{C}) = 60 \cdot 12 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 720 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,72 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} $

Подставим все выражения в формулу для плотности:

$ \rho = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3} $

Выразим отсюда параметр решётки $a$:

$ a^3 = \frac{Z \cdot M}{\rho \cdot N_A} $

$ a = \sqrt[3]{\frac{Z \cdot M}{\rho \cdot N_A}} $

Подставим числовые значения в системе СИ:

$ a = \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 0,72 \text{ кг/моль}}{1,7 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{0,72}{1,7 \cdot 6,022 \cdot 10^{26}}} \text{ м} $

$ a = \sqrt[3]{\frac{0,72}{10,2374 \cdot 10^{26}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{0,0703 \cdot 10^{-26}} \text{ м} = \sqrt[3]{70,3 \cdot 10^{-30}} \text{ м} $

$ a \approx 4,13 \cdot 10^{-10} \text{ м} $

Ой, ошибка в вычислении. Давайте пересчитаем внимательнее, используя исходные единицы г и см, чтобы избежать ошибок с порядками.

$ a = \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 720 \text{ г/моль}}{1,7 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{720}{10,2374 \cdot 10^{23}}} \text{ см} $

$ a = \sqrt[3]{70,328 \cdot 10^{-23}} \text{ см} = \sqrt[3]{7,0328 \cdot 10^{-22}} \text{ см} $

Чтобы извлечь кубический корень, представим степень как кратную трём:

$ a = \sqrt[3]{703,28 \cdot 10^{-24}} \text{ см} $

Поскольку $8^3=512$ и $9^3=729$, корень из 703.28 будет близок к 9. Точнее, $ \sqrt[3]{703,28} \approx 8,89 $.

$ a \approx 8,89 \cdot 10^{-8} \text{ см} $

Переведем в метры и нанометры:

$ d = a \approx 8,89 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 0,889 \text{ нм} $

Ответ: $d \approx 8,89 \cdot 10^{-10} \text{ м}$ или $0,889 \text{ нм}$.