Номер 162, страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.162. Элементарная ячейка простого вещества имеет вид:

Плотность вещества 5327 $\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3,$ параметр ячейки $\mathrm{\alpha }=0,566\mathrm{нм}.$ Определите элемент.

Дано:

Тип элементарной ячейки: алмазная кубическая
Плотность вещества, $\rho = 5327$ кг/м³
Параметр ячейки, $a = 0,566$ нм

Перевод в систему СИ:
$a = 0,566 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Элемент - ?

Решение:

Плотность вещества можно определить через параметры его кристаллической решетки по формуле: $\rho = \frac{m_{\text{ячейки}}}{V_{\text{ячейки}}}$ где $m_{\text{ячейки}}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{\text{ячейки}}$ — объем элементарной ячейки.

Объем кубической ячейки равен $V_{\text{ячейки}} = a^3$, где $a$ — параметр ячейки.

Масса ячейки $m_{\text{ячейки}}$ равна произведению числа атомов в ячейке ($n$) на массу одного атома ($m_{\text{атома}}$): $m_{\text{ячейки}} = n \cdot m_{\text{атома}}$

На изображении представлена элементарная ячейка алмазоподобной структуры. Такая ячейка содержит:

• 8 атомов в вершинах куба (каждый принадлежит 8 ячейкам, итого $8 \times 1/8 = 1$ атом)
• 6 атомов в центрах граней (каждый принадлежит 2 ячейкам, итого $6 \times 1/2 = 3$ атома)
• 4 атома внутри объема ячейки.

Массу одного атома можно выразить через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A = 6,022 \times 10^{23}$ моль⁻¹: $m_{\text{атома}} = \frac{M}{N_A}$

Объединив формулы, получим выражение для плотности: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$

Выразим из этой формулы молярную массу $M$: $M = \frac{\rho \cdot a^3 \cdot N_A}{n}$

Подставим известные значения и вычислим молярную массу: $M = \frac{5327 \text{ кг/м³} \cdot (0,566 \times 10^{-9} \text{ м})^3 \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{8}$ $M \approx \frac{5327 \cdot 0,1813 \times 10^{-27} \cdot 6,022 \times 10^{23}}{8} \text{ кг/моль}$ $M \approx \frac{5816,6 \times 10^{-4}}{8} \text{ кг/моль}$ $M \approx 727 \times 10^{-4} \text{ кг/моль} \approx 0,0727$ кг/моль

Переведем молярную массу в более привычные единицы г/моль: $M \approx 0,0727 \text{ кг/моль} \cdot 1000 \text{ г/кг} = 72,7$ г/моль.

Сравнив полученное значение с молярными массами элементов в периодической таблице Менделеева, находим, что наиболее близким элементом является Германий (Ge), молярная масса которого составляет 72,63 г/моль. Германий как раз имеет алмазоподобную кристаллическую решетку.

Ответ: Искомый элемент — Германий (Ge).