Номер 164, страница 281 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.164. Алмаз имеет кубическую решётку с длиной ребра ячейки $\mathrm{\alpha }=357\mathrm{пм}.$ Определите число атомов углерода, приходящееся на одну ячейку, и найдите плотность алмаза. Какую долю пространства занимают атомы углерода, если длина связи С–С равна 154 пм?

Дано:

Найти:

Решение:

1. Определите число атомов углерода, приходящееся на одну ячейку

Кристаллическая решётка алмаза является разновидностью кубической гранецентрированной решётки. Атомы углерода в элементарной ячейке располагаются следующим образом:

• 8 атомов в вершинах куба. Каждый из этих атомов принадлежит одновременно 8 соседним ячейкам, поэтому вклад в одну ячейку составляет $8 \times \frac{1}{8} = 1$ атом.
• 6 атомов в центрах граней куба. Каждый из этих атомов принадлежит 2 соседним ячейкам, поэтому вклад в одну ячейку составляет $6 \times \frac{1}{2} = 3$ атома.
• 4 атома находятся полностью внутри объёма элементарной ячейки (в тетраэдрических пустотах). Их вклад равен 4 атомам.

Суммарное число атомов углерода $n$ на одну элементарную ячейку равно сумме этих вкладов:

$n = \left(8 \times \frac{1}{8}\right) + \left(6 \times \frac{1}{2}\right) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 \text{ атомов}$

Ответ: На одну элементарную ячейку приходится 8 атомов углерода.

2. Найдите плотность алмаза

Плотность $\rho$ определяется как отношение массы всех атомов в элементарной ячейке $m_{ячейки}$ к объёму ячейки $V_{ячейки}$:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$

Объём элементарной ячейки (куба) равен $V_{ячейки} = a^3$.

Масса ячейки равна произведению числа атомов в ячейке $n$ на массу одного атома углерода $m_C$. Массу одного атома можно найти, разделив молярную массу углерода $M(C)$ на число Авогадро $N_A$: $m_C = \frac{M(C)}{N_A}$.

Таким образом, $m_{ячейки} = n \times \frac{M(C)}{N_A}$.

Итоговая формула для плотности:

$\rho = \frac{n \cdot M(C)}{a^3 \cdot N_A}$

Подставим значения в системе СИ:

$\rho = \frac{8 \times 0,012011 \text{ кг/моль}}{(3,57 \times 10^{-10} \text{ м})^3 \times 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{0,096088 \text{ кг}}{(4,5503 \times 10^{-29} \text{ м}^3) \times (6,022 \times 10^{23})} \approx \frac{0,096088}{2,740 \times 10^{-5}} \text{ кг/м}^3 \approx 3506 \text{ кг/м}^3$

Ответ: Плотность алмаза составляет приблизительно $3506 \text{ кг/м}^3$ (или $3,506 \text{ г/см}^3$).

3. Какую долю пространства занимают атомы углерода, если длина связи C—C равна 154 пм?

Доля пространства $f$ (также называемая коэффициентом упаковки), занимаемая атомами, равна отношению суммарного объёма атомов в ячейке $V_{атомов}$ к объёму самой ячейки $V_{ячейки}$.

$f = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{n \cdot V_{атома}}{a^3}$

Атомы углерода моделируются как шары. Объём одного атома (шара) вычисляется по формуле $V_{атома} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Радиус атома углерода $r$ принимаем равным половине длины связи C—C:

$r = \frac{d}{2} = \frac{154 \text{ пм}}{2} = 77 \text{ пм}$

Теперь можем найти долю занимаемого пространства. Для удобства расчётов можно оставить длины в пикометрах, так как единицы измерения сократятся.

$f = \frac{n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \frac{8 \cdot \frac{4}{3}\pi (77 \text{ пм})^3}{(357 \text{ пм})^3} = \frac{32\pi \cdot 77^3}{3 \cdot 357^3} = \frac{32\pi \cdot 456533}{3 \cdot 45503373} \approx \frac{45904842}{136510119} \approx 0,3363$

Эта доля в процентах составляет $0,3363 \times 100\% = 33,63\%$.

Примечание: Теоретическое значение для идеальной алмазной решётки равно $\frac{\pi\sqrt{3}}{16} \approx 0,3401$, или 34,01%. Небольшое расхождение связано с тем, что приведённые в задаче значения $a=357$ пм и $d=154$ пм не строго соответствуют идеальной геометрии, в которой $d = a\sqrt{3}/4$.

Ответ: Атомы углерода занимают долю пространства, равную примерно 0,336, или 33,6%.