Номер 159, страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.159. Определите плотность кубических кристаллов ${\mathrm{SrCl}}_2$ (структурный тип флюорита), если расстояние Sr–Cl равно 3,02 А.

Дано:

Кристаллическая структура $SrCl_2$ - тип флюорита ($CaF_2$)

Расстояние $Sr-Cl$: $d = 3,02$ Å

Найти:

Плотность кристаллов $SrCl_2$ - $\rho$

Решение:

Плотность вещества определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Для кристалла плотность можно рассчитать как отношение массы элементарной ячейки к ее объему:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$

$SrCl_2$ кристаллизуется в кубической решетке типа флюорита ($CaF_2$). В этой структуре ионы $Sr^{2+}$ образуют гранецентрированную кубическую (ГЦК) решетку, а ионы $Cl^-$ занимают все тетраэдрические пустоты.

Определим число формульных единиц $Z$ в одной элементарной ячейке. Число ионов $Sr^{2+}$ в ячейке ($Z_{Sr}$) равно 4 (8 ионов в вершинах куба, каждый из которых принадлежит 8 ячейкам, и 6 ионов в центрах граней, каждый из которых принадлежит 2 ячейкам):

$Z_{Sr} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

Число ионов $Cl^-$ в ячейке ($Z_{Cl}$) равно 8, так как они занимают все 8 тетраэдрических пустот, которые полностью принадлежат ячейке.

Таким образом, на одну элементарную ячейку приходится 4 иона $Sr^{2+}$ и 8 ионов $Cl^-$, что соответствует 4 формульным единицам $SrCl_2$. Следовательно, $Z = 4$.

Массу элементарной ячейки найдем, умножив массу одной формульной единицы на их число в ячейке:

$m_{яч} = Z \times \frac{M_{SrCl_2}}{N_A}$

Молярная масса хлорида стронция $M_{SrCl_2}$:

$M_{SrCl_2} = M_{Sr} + 2 \cdot M_{Cl} = 0,08762 \text{ кг/моль} + 2 \cdot 0,035453 \text{ кг/моль} = 0,158526 \text{ кг/моль}$

Тогда масса ячейки:

$m_{яч} = \frac{4 \cdot 0,158526 \text{ кг/моль}}{6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1,0529 \times 10^{-24} \text{ кг}$

Объем элементарной ячейки, являющейся кубом, равен $V_{яч} = a^3$, где $a$ - параметр (ребро) решетки.

В структуре типа флюорита ион $Sr^{2+}$ может находиться в вершине куба (координаты (0,0,0)), а ближайший к нему ион $Cl^-$ — в тетраэдрической пустоте (координаты ($\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4}$)). Расстояние между ними $d$ равно четверти пространственной диагонали куба. Связь между расстоянием $d$ и параметром решетки $a$ выражается формулой:

$d = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Отсюда выразим параметр решетки $a$ и вычислим его:

$a = \frac{4d}{\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 3,02 \times 10^{-10} \text{ м}}{\sqrt{3}} \approx 6,9746 \times 10^{-10} \text{ м}$

Теперь найдем объем элементарной ячейки:

$V_{яч} = a^3 = (6,9746 \times 10^{-10} \text{ м})^3 \approx 339,26 \times 10^{-30} \text{ м}^3$

Наконец, рассчитаем плотность:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{1,0529 \times 10^{-24} \text{ кг}}{339,26 \times 10^{-30} \text{ м}^3} \approx 3103,5 \text{ кг/м}^3$

Округляя до четырех значащих цифр, получаем $\rho \approx 3104 \text{ кг/м}^3$.

Ответ: Плотность кубических кристаллов $SrCl_2$ равна $3104 \text{ кг/м}^3$.