Номер 152, страница 279 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.152. Металл А имеет плотность 2,54 г/см3 и кубическую гранецентрированную решётку. Радиус атома А равен 0,216 нм. Определите А.

Дано:

Плотность металла А ($ρ$) = 2,54 г/см³

Тип решетки = кубическая гранецентрированная (ГЦК)

Радиус атома А ($r$) = 0,216 нм

Перевод единиц:

$r = 0,216 \text{ нм} = 0,216 \times 10^{-7} \text{ см}$

Постоянная Авогадро $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ моль⁻¹

Найти:

Определить металл А.

Решение:

Для того чтобы определить металл А, необходимо найти его молярную массу ($M$). Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его кристаллической решетки формулой:

$ρ = \frac{n \cdot M}{V_c \cdot N_A}$

где $n$ — число атомов в элементарной ячейке, $M$ — молярная масса, $V_c$ — объем элементарной ячейки, а $N_A$ — число Авогадро.

1. Найдем число атомов в элементарной ячейке ($n$) для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки. В ГЦК решетке атомы расположены в 8 вершинах куба и в центре 6 его граней. Атом в вершине принадлежит 8 ячейкам, а атом в центре грани — 2 ячейкам. Таким образом:

$n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

Итак, в одной элементарной ячейке ГЦК решетки содержится 4 атома.

2. Рассчитаем объем элементарной ячейки ($V_c$). Объем куба вычисляется как $V_c = a^3$, где $a$ — параметр решетки (длина ребра куба). В ГЦК решетке атомы соприкасаются вдоль диагонали грани. Длина диагонали грани ($d$) равна четырем радиусам атома ($d = 4r$).

Согласно теореме Пифагора для грани куба:

$a^2 + a^2 = d^2 = (4r)^2$

$2a^2 = 16r^2$

$a^2 = 8r^2$

$a = \sqrt{8}r = 2\sqrt{2}r$

Теперь можно найти объем элементарной ячейки:

$V_c = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$

Подставим значение радиуса атома $r = 0,216 \times 10^{-7}$ см:

$V_c = 16\sqrt{2} \cdot (0,216 \times 10^{-7})^3 \text{ см}^3 \approx 16 \cdot 1,4142 \cdot 0,010077696 \times 10^{-21} \text{ см}^3 \approx 2,28 \times 10^{-22} \text{ см}^3$

3. Выразим молярную массу ($M$) из формулы плотности и рассчитаем ее значение.

$M = \frac{\rho \cdot V_c \cdot N_A}{n}$

Подставим все известные величины:

$M = \frac{2,54 \frac{г}{см^3} \cdot 2,28 \times 10^{-22} \text{ см}^3 \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{4}$

$M \approx \frac{3,488 \times 10^2 \text{ г/моль}}{4} \approx 87,2 \text{ г/моль}$

4. Определим металл по его молярной массе.

Рассчитанная молярная масса ($M \approx 87,2$ г/моль) наиболее близка к молярной массе химического элемента стронция (Sr), которая равна 87,62 г/моль. Кроме того, стронций при комнатной температуре кристаллизуется в гранецентрированной кубической решетке, что соответствует условию задачи. Небольшое расхождение в значениях связано с округлениями в расчетах и возможной погрешностью исходных данных.

Ответ: Металл А — стронций (Sr).