Номер 154, страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.154. Считая атомы твёрдыми шарами, найдите, сколько процентов объёма вещества занимают атомы в: а) ОЦК-структуре; б) примитивной кубической структуре.

Дано:

Найти:

Решение:

Коэффициент упаковки, или плотность упаковки, $\eta$ — это безразмерная величина, которая показывает, какая доля объема элементарной ячейки кристаллической решетки заполнена атомами. Она рассчитывается по формуле:

$\eta = \frac{n \cdot V_{атома}}{V_{ячейки}}$

где $n$ — число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, $V_{атома}$ — объем одного атома, который мы считаем шаром радиуса $R$ ($V_{атома} = \frac{4}{3}\pi R^3$), а $V_{ячейки}$ — объем элементарной ячейки.

а) ОЦК-структуре;

В объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетке атомы расположены в 8 вершинах куба и 1 атом находится в центре куба. Пусть ребро куба (постоянная решетки) равно $a$.

Подсчитаем число атомов $n$, приходящихся на одну элементарную ячейку:

• 8 атомов в вершинах, каждый из которых принадлежит 8 соседним ячейкам, дают в сумме $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ атом.
• 1 атом в центре, полностью принадлежащий данной ячейке.

Таким образом, $n_{ОЦК} = 1 + 1 = 2$ атома.

Суммарный объем атомов в ячейке:

$V_{атомов} = n_{ОЦК} \cdot V_{атома} = 2 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$.

В ОЦК-структуре атомы касаются друг друга вдоль главной (пространственной) диагонали куба. Длина этой диагонали по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$. Эта же диагональ вмещает в себя радиус одного углового атома, диаметр центрального атома и радиус второго углового атома, т.е. $d = R + 2R + R = 4R$.

Приравнивая два выражения для длины диагонали, находим связь между $a$ и $R$:

$a\sqrt{3} = 4R \Rightarrow a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Объем элементарной ячейки равен:

$V_{ячейки} = a^3 = \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64R^3}{3\sqrt{3}}$

Теперь можем рассчитать коэффициент упаковки для ОЦК-структуры:

$\eta_{ОЦК} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi R^3}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{64R^3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.6802$

В процентах это составляет $0.6802 \cdot 100\% \approx 68\%$.

Ответ: 68%.

б) примитивной кубической структуре.

В примитивной кубической (ПК) решетке атомы расположены только в 8 вершинах куба.

Число атомов $n$ на элементарную ячейку:

$n_{ПК} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ атом.

Суммарный объем атомов в ячейке:

$V_{атомов} = n_{ПК} \cdot V_{атома} = 1 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

В данной структуре атомы касаются друг друга вдоль ребер куба. Поэтому длина ребра куба $a$ равна двум радиусам атомов:

$a = 2R$

Объем элементарной ячейки:

$V_{ячейки} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$

Рассчитаем коэффициент упаковки для ПК-структуры:

$\eta_{ПК} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi R^3}{3 \cdot 8R^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$

В процентах это составляет $0.5236 \cdot 100\% \approx 52.4\%$.

Ответ: 52.4%.