Номер 251, страница 332 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.251. Разложение сложного эфира ${\mathrm{CH}}_3{\mathrm{COOC}}_2\mathrm{H}$ при нагревании – реакция первого порядка. Образец эфира массой 40 г нагрели до температуры реакции, и через 36 мин масса исходного вещества составила 5 г. Рассчитайте период полупревращения эфира.

Дано:

Реакция разложения сложного эфира — реакция первого порядка.
Начальная масса эфира, $m_0 = 40 \text{ г}$
Время реакции, $t = 36 \text{ мин}$
Масса эфира через время $t$, $m_t = 5 \text{ г}$

Перевод в систему СИ для данной задачи не является обязательным, так как отношение масс — безразмерная величина, и период полупревращения можно выразить в минутах.

$t = 36 \text{ мин} = 36 \cdot 60 = 2160 \text{ с}$

Найти:

Период полупревращения эфира, $t_{1/2}$ — ?

Решение:

Период полупревращения ($t_{1/2}$) — это время, за которое распадается половина исходного количества вещества. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Логический

Этот способ применим, когда конечное количество вещества кратно отличается от начального в $2^n$ раз. Найдем, какая часть исходного вещества осталась через 36 минут:

$\frac{m_t}{m_0} = \frac{5 \text{ г}}{40 \text{ г}} = \frac{1}{8}$

Зависимость массы реагента от времени для реакции первого порядка описывается уравнением:

$m_t = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$

где $n$ — число прошедших периодов полупревращения. Подставим наши значения:

$\frac{m_t}{m_0} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$

Отсюда следует, что число прошедших периодов полупревращения $n = 3$. Это означает, что за 36 минут прошло ровно 3 периода полупревращения. Следовательно, один период полупревращения равен:

$t_{1/2} = \frac{t}{n} = \frac{36 \text{ мин}}{3} = 12 \text{ мин}$

Способ 2. Через константу скорости реакции

Этот способ является универсальным для любой реакции первого порядка. Кинетическое уравнение для реакции первого порядка в интегральной форме выглядит так:

$ln(\frac{C_0}{C_t}) = k \cdot t$

где $C_0$ и $C_t$ — концентрации вещества в начальный момент и в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции. Поскольку масса вещества прямо пропорциональна его концентрации (при постоянном объеме), можно использовать массы вместо концентраций:

$ln(\frac{m_0}{m_t}) = k \cdot t$

Сначала найдем константу скорости реакции $k$:

$k = \frac{1}{t} \cdot ln(\frac{m_0}{m_t}) = \frac{1}{36 \text{ мин}} \cdot ln(\frac{40}{5}) = \frac{1}{36} \cdot ln(8)$

Используя свойство логарифма $ln(a^b) = b \cdot ln(a)$, получаем:

$ln(8) = ln(2^3) = 3 \cdot ln(2)$

Тогда константа скорости:

$k = \frac{3 \cdot ln(2)}{36} = \frac{ln(2)}{12} \text{ мин}^{-1}$

Период полупревращения для реакции первого порядка связан с константой скорости следующим соотношением:

$t_{1/2} = \frac{ln(2)}{k}$

Подставим найденное значение $k$:

$t_{1/2} = \frac{ln(2)}{\frac{ln(2)}{12} \text{ мин}^{-1}} = 12 \text{ мин}$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 12 мин.