Номер 258, страница 333 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.258. В реакции первого порядка за 10 мин разложилось 40% вещества. Сколько процентов вещества разложится за 20 мин?

Дано:

Тип реакции: реакция первого порядка
Время $t_1 = 10 \text{ мин}$
Доля разложившегося вещества за время $t_1$: $x_1 = 40\%$
Время $t_2 = 20 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$
$t_2 = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

Найти:

$x_2$ — процент вещества, который разложится за время $t_2$.

Решение:

Кинетическое уравнение для реакции первого порядка связывает концентрацию вещества со временем:

$\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) = -kt$

где $N_0$ — начальное количество вещества, $N_t$ — количество вещества в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции.

По условию, за $t_1 = 10 \text{ мин}$ разложилось 40% вещества. Это значит, что к этому моменту осталось $100\% - 40\% = 60\%$ вещества. Таким образом, доля оставшегося вещества $\frac{N_1}{N_0}$ составляет $0.6$.

Подставим эти значения в уравнение для момента времени $t_1$:

$\ln(0.6) = -k \cdot 10$

Теперь рассмотрим момент времени $t_2 = 20 \text{ мин}$. Нам нужно найти долю вещества $\frac{N_2}{N_0}$, которая останется к этому времени.

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = -k \cdot t_2 = -k \cdot 20$

Заметим, что $t_2 = 2 \cdot t_1$. Выразим второе уравнение через первое:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = -k \cdot (2 \cdot 10) = 2 \cdot (-k \cdot 10)$

Поскольку $-k \cdot 10 = \ln(0.6)$, мы можем подставить это выражение:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = 2 \cdot \ln(0.6)$

Используя свойство логарифмов $a \cdot \ln(b) = \ln(b^a)$, получаем:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = \ln(0.6^2)$

Отсюда следует, что доли равны:

$\frac{N_2}{N_0} = 0.6^2 = 0.36$

Это означает, что через 20 минут останется $0.36$ или $36\%$ от начального количества вещества.

Процент разложившегося вещества $x_2$ найдем как разность между начальным (100%) и оставшимся количеством:

$x_2 = 100\% - 36\% = 64\%$

Ответ: за 20 мин разложится 64% вещества.