Номер 257, страница 333 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.257. В реакцию первого порядка вступило вещество массой 25 г. Через 5 мин после начала реакции осталось 20 г вещества. Сколько вещества останется через: а) 10 мин; б) 15 мин после начала реакции?

Дано:

Начальная масса вещества, $m_0 = 25$ г
Время 1, $t_1 = 5$ мин
Масса вещества в момент $t_1$, $m_1 = 20$ г
Время 2, $t_а = 10$ мин
Время 3, $t_б = 15$ мин

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 0.025$ кг
$m_1 = 0.020$ кг
$t_1 = 300$ с
$t_а = 600$ с
$t_б = 900$ с

Найти:

$m_а$ - массу вещества через 10 мин
$m_б$ - массу вещества через 15 мин

Решение:

Поскольку реакция первого порядка, ее скорость пропорциональна концентрации (или массе, при постоянном объеме) реагирующего вещества. Кинетическое уравнение для реакции первого порядка в интегральной форме имеет вид:

$ln(\frac{m_0}{m_t}) = k \cdot t$

где $m_0$ - начальная масса вещества, $m_t$ - масса вещества в момент времени $t$, а $k$ - константа скорости реакции.

Сначала найдем константу скорости реакции $k$, используя данные для первых 5 минут. Для удобства расчетов можно оставить время в минутах.

$k = \frac{1}{t_1} \cdot ln(\frac{m_0}{m_1}) = \frac{1}{5 \text{ мин}} \cdot ln(\frac{25 \text{ г}}{20 \text{ г}}) = \frac{1}{5} \cdot ln(1.25) \text{ мин}^{-1}$

Теперь, зная константу скорости, мы можем найти массу вещества в любой другой момент времени.

а) 10 мин

Найдем массу вещества $m_а$, которая останется через 10 минут.

$ln(\frac{m_0}{m_а}) = k \cdot t_а$

Подставим известные значения $m_0$, $k$ и $t_а$:

$ln(\frac{25}{m_а}) = (\frac{ln(1.25)}{5}) \cdot 10 = 2 \cdot ln(1.25)$

Используя свойство логарифма $a \cdot ln(b) = ln(b^a)$, получаем:

$ln(\frac{25}{m_а}) = ln(1.25^2)$

Отсюда следует:

$\frac{25}{m_а} = 1.25^2 = 1.5625$

$m_а = \frac{25}{1.5625} = 16$ г

Другой способ: Для реакции первого порядка за равные промежутки времени доля прореагировавшего вещества одинакова. За первые 5 минут доля оставшегося вещества составляет $\frac{20}{25} = 0.8$. Следовательно, через следующие 5 минут (т.е. через 10 минут от начала) останется 0.8 от массы, которая была в момент 5 минут:

$m_а = m_1 \cdot 0.8 = 20 \text{ г} \cdot 0.8 = 16$ г.

Ответ: через 10 минут останется 16 г вещества.

б) 15 мин

Найдем массу вещества $m_б$, которая останется через 15 минут.

$ln(\frac{m_0}{m_б}) = k \cdot t_б$

Подставим известные значения:

$ln(\frac{25}{m_б}) = (\frac{ln(1.25)}{5}) \cdot 15 = 3 \cdot ln(1.25)$

$ln(\frac{25}{m_б}) = ln(1.25^3)$

$\frac{25}{m_б} = 1.25^3 \approx 1.953125$

$m_б = \frac{25}{1.953125} = 12.8$ г

Другой способ: Масса через 15 минут будет в 0.8 раза меньше массы, которая была через 10 минут:

$m_б = m_а \cdot 0.8 = 16 \text{ г} \cdot 0.8 = 12.8$ г.

Ответ: через 15 минут останется 12,8 г вещества.