Номер 106, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Пропорциональные величины. Процентные расчёты - номер 106, страница 218.

Учебник.

106. В 2013 г. в некотором городе было 60 000 жителей, а в 2015 г. – 54 150 жителей. На сколько процентов ежегодно уменьшалось население этого города?

Решение 2.

Пусть $N_0$ — это численность населения в 2013 году, а $N_2$ — численность населения в 2015 году. Прошло 2 года ($2015 - 2013 = 2$). Пусть $p$ — искомый ежегодный процент уменьшения населения.

Данные задачи:$N_0 = 60\ 000$ жителей.$N_2 = 54\ 150$ жителей.

Для решения задачи используется формула сложных процентов для убывающей величины:$N_n = N_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n$

Где $n$ — количество лет. В нашем случае $n=2$. Подставим известные значения в формулу:

$54\ 150 = 60\ 000 \cdot (1 - \frac{p}{100})^2$

Теперь решим это уравнение относительно $p$. Сначала разделим обе части на 60 000:

$(1 - \frac{p}{100})^2 = \frac{54\ 150}{60\ 000}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$\frac{54\ 150}{60\ 000} = \frac{5415}{6000}$

Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5415 \div 5}{6000 \div 5} = \frac{1083}{1200}$

Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1083 \div 3}{1200 \div 3} = \frac{361}{400}$

Теперь уравнение имеет вид:

$(1 - \frac{p}{100})^2 = \frac{361}{400}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку население уменьшается, то коэффициент $(1 - \frac{p}{100})$ должен быть положительным, поэтому мы берем положительное значение корня.

$1 - \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{361}{400}} = \frac{19}{20}$

Теперь выразим $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1 - \frac{19}{20}$

$\frac{p}{100} = \frac{20}{20} - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}$

Найдем $p$, умножив обе части на 100:

$p = \frac{1}{20} \cdot 100 = 5$

Следовательно, население города ежегодно уменьшалось на 5%.

Ответ: 5%.