Номер 110, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Пропорциональные величины. Процентные расчёты. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 110, страница 218.

110. Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была менее 20%. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15%. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть $M$ — первоначальная масса водно-солевого раствора в кг.

По условию, в этом растворе содержалось 3 кг соли. Тогда первоначальная концентрация соли $C_1$ в растворе составляет:
$C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{3}{M}$

Также дано, что первоначальная концентрация была менее 20%, то есть:
$C_1 < 0.2 \implies \frac{3}{M} < 0.2$

К этому раствору добавили 6 кг соли. Новая масса соли в растворе стала:
$m_{\text{соли нов.}} = 3 + 6 = 9$ кг.

Новая общая масса раствора стала:
$M_{\text{нов.}} = M + 6$ кг.

Новая концентрация соли $C_2$ в растворе:
$C_2 = \frac{m_{\text{соли нов.}}}{M_{\text{нов.}}} = \frac{9}{M + 6}$

По условию, концентрация соли увеличилась на 15%. Это означает, что новая концентрация $C_2$ больше старой концентрации $C_1$ на 0.15 (в долях):
$C_2 = C_1 + 0.15$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:
$\frac{9}{M + 6} = \frac{3}{M} + 0.15$

Теперь решим это уравнение относительно $M$. Для избавления от знаменателей умножим обе части уравнения на $M(M+6)$, предполагая, что $M \neq 0$ и $M \neq -6$, что очевидно для массы раствора.
$9M = 3(M + 6) + 0.15M(M + 6)$
$9M = 3M + 18 + 0.15M^2 + 0.9M$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0.15M^2 + (3 + 0.9 - 9)M + 18 = 0$
$0.15M^2 - 5.1M + 18 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 100:
$15M^2 - 510M + 1800 = 0$

Разделим все уравнение на 15 для упрощения:
$M^2 - 34M + 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:
$M_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$M_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для первоначальной массы раствора: 30 кг и 4 кг. Теперь необходимо проверить оба значения на соответствие условию, что первоначальная концентрация была менее 20% ($\frac{3}{M} < 0.2$).

1. Проверка для $M = 30$ кг:
Первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{30} = 0.1$.
$0.1 < 0.2$, что соответствует $10\% < 20\%$. Это значение удовлетворяет условию задачи.

2. Проверка для $M = 4$ кг:
Первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{4} = 0.75$.
$0.75 > 0.2$, что соответствует $75\% > 20\%$. Это значение противоречит условию задачи.

Следовательно, единственным верным решением является $M = 30$ кг.

Ответ: 30 кг.