Номер 108, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Пропорциональные величины. Процентные расчёты. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 108, страница 218.

108. К сплаву меди и цинка, который содержал меди на 4 кг больше, чем цинка, добавили 4 кг меди. Вследствие этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 7,5%. Сколько килограммов меди содержал сплав вначале?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — масса цинка в первоначальном сплаве.

Согласно условию, меди в сплаве было на 4 кг больше, чем цинка. Следовательно, масса меди в первоначальном сплаве составляла $(x + 4)$ кг.

Общая масса первоначального сплава была равна сумме масс цинка и меди: $M_1 = x + (x + 4) = 2x + 4$ кг.

Концентрация меди в первоначальном сплаве (выраженная в долях) вычисляется как отношение массы меди к общей массе сплава:$p_1 = \frac{x + 4}{2x + 4}$

Затем к сплаву добавили 4 кг меди. Масса цинка при этом не изменилась, а масса меди увеличилась.

Новая масса меди в сплаве стала: $(x + 4) + 4 = x + 8$ кг.

Новая общая масса сплава стала: $(2x + 4) + 4 = 2x + 8$ кг.

Концентрация меди в новом сплаве (в долях) стала:$p_2 = \frac{x + 8}{2x + 8}$

По условию, процентное содержание меди увеличилось на 7,5%. В долях это составляет $7.5 / 100 = 0.075$. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$p_2 - p_1 = 0.075$

$\frac{x + 8}{2x + 8} - \frac{x + 4}{2x + 4} = 0.075$

Упростим левую часть уравнения, вынеся 2 за скобки в знаменателях:

$\frac{x + 8}{2(x + 4)} - \frac{x + 4}{2(x + 2)} = 0.075$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+2)(x+4)$:

$\frac{(x + 8)(x + 2) - (x + 4)(x + 4)}{2(x + 2)(x + 4)} = 0.075$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(x^2 + 2x + 8x + 16) - (x^2 + 8x + 16) = x^2 + 10x + 16 - x^2 - 8x - 16 = 2x$

Подставим результат в уравнение:

$\frac{2x}{2(x + 2)(x + 4)} = 0.075$

$\frac{x}{(x + 2)(x + 4)} = 0.075$

Представим 0.075 в виде обыкновенной дроби: $0.075 = \frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$.

$\frac{x}{x^2 + 6x + 8} = \frac{3}{40}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$40x = 3(x^2 + 6x + 8)$

$40x = 3x^2 + 18x + 24$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 18x - 40x + 24 = 0$

$3x^2 - 22x + 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 484 - 288 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm 14}{6}$

$x_1 = \frac{22 + 14}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{22 - 14}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Мы получили два положительных значения для начальной массы цинка $x$. Оба являются физически возможными. Найдем соответствующую первоначальную массу меди, которая равна $(x+4)$ кг, для каждого из этих случаев.

1. Если начальная масса цинка была 6 кг, то начальная масса меди составляла $6 + 4 = 10$ кг.

2. Если начальная масса цинка была $\frac{4}{3}$ кг, то начальная масса меди составляла $\frac{4}{3} + 4 = \frac{4+12}{3} = \frac{16}{3}$ кг.

Проведем проверку для обоих возможных ответов.

Проверка для 10 кг меди: Начальная масса цинка 6 кг. Начальная общая масса 16 кг. Концентрация меди $\frac{10}{16} = 0.625$ (62,5%). После добавления 4 кг меди, масса меди стала 14 кг, а общая масса 20 кг. Новая концентрация меди $\frac{14}{20} = 0.7$ (70%). Изменение: $70\% - 62.5\% = 7.5\%$. Это решение верное.

Проверка для $\frac{16}{3}$ кг меди: Начальная масса цинка $\frac{4}{3}$ кг. Начальная общая масса $\frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$ кг. Концентрация меди $\frac{16/3}{20/3} = \frac{16}{20} = 0.8$ (80%). После добавления 4 кг меди, масса меди стала $\frac{16}{3} + 4 = \frac{28}{3}$ кг, а общая масса $\frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3}$ кг. Новая концентрация меди $\frac{28/3}{32/3} = \frac{28}{32} = 0.875$ (87,5%). Изменение: $87.5\% - 80\% = 7.5\%$. Это решение также верное.

Поскольку оба решения удовлетворяют условиям задачи, существует два возможных ответа.

Ответ: Сплав вначале содержал 10 кг меди или $\frac{16}{3}$ кг меди.