Номер 107, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Пропорциональные величины. Процентные расчёты - номер 107, страница 218.

Учебник.

107. Вкладчик положил в банк 30 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен на 6%. На конец второго года на счёте стало 34 320 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Решение 2.

Пусть $p$ — это искомая процентная ставка в первый год. Тогда коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за первый год, равен $(1 + \frac{p}{100})$.

Начальная сумма вклада $S_0 = 30\,000$ рублей. После первого года сумма на счете $S_1$ составит:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 30\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Во второй год банковский процент был уменьшен на 6%, следовательно, новая процентная ставка составила $(p - 6)$%. Коэффициент увеличения вклада за второй год равен $(1 + \frac{p-6}{100})$.

Сумма на счете в конце второго года, $S_2$, вычисляется как:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p - 6}{100}) = 30\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p - 6}{100})$

По условию, на конец второго года на счете стало 34 320 рублей. Составим уравнение, подставив известные значения:
$34\,320 = 30\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p - 6}{100})$

Для решения уравнения сначала разделим обе части на 30 000:
$\frac{34\,320}{30\,000} = (\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{100 + p - 6}{100})$
$1.144 = \frac{(100+p)(94+p)}{10000}$

Теперь умножим обе части на 10 000, чтобы избавиться от знаменателей, и раскроем скобки:
$11440 = (100+p)(94+p)$
$11440 = 9400 + 100p + 94p + p^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ap^2 + bp + c = 0$:
$p^2 + 194p + 9400 - 11440 = 0$
$p^2 + 194p - 2040 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 194^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2040) = 37636 + 8160 = 45796$
$\sqrt{D} = \sqrt{45796} = 214$

Найдем корни уравнения для $p$:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-194 + 214}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-194 - 214}{2} = \frac{-408}{2} = -204$

Поскольку процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной, корень $p_2 = -204$ не является решением задачи. Следовательно, банковская ставка в первый год составляла 10%.

Ответ: 10%.