Номер 109, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Пропорциональные величины. Процентные расчёты. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 109, страница 218.

109. Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5%. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть первоначальная масса раствора была $x$ кг.

Масса соли в растворе является постоянной величиной и составляет 4 кг.

Первоначальная концентрация соли в растворе, обозначим ее $C_1$, представляет собой отношение массы соли к общей массе раствора: $C_1 = \frac{4}{x}$

После того как 4 кг воды испарилось, общая масса раствора уменьшилась на 4 кг и стала равной $(x - 4)$ кг.

Новая концентрация соли $C_2$ в растворе стала: $C_2 = \frac{4}{x - 4}$

Согласно условию задачи, новая концентрация увеличилась на 5%. В долях это составляет 0,05. Следовательно, разница между новой и первоначальной концентрациями равна 0,05: $C_2 - C_1 = 0.05$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в полученное уравнение: $\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x} = 0.05$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $\frac{4x - 4(x - 4)}{x(x - 4)} = 0.05$

Раскроем скобки и упростим числитель: $\frac{4x - 4x + 16}{x^2 - 4x} = 0.05$ $\frac{16}{x^2 - 4x} = 0.05$

Теперь выразим знаменатель $x^2 - 4x$: $x^2 - 4x = \frac{16}{0.05}$ $x^2 - 4x = 320$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 4x - 320 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Масса раствора не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, первоначальная масса раствора составляла 20 кг.

Ответ: 20 кг.