Номер 1.118, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.118, страница 21.

Условие.

1.118. На резисторе сопротивлением $R_1 = 12 \text{ Ом}$ за 20 мин выделяется количество теплоты 3,6 кДж. Найдите силу тока в резисторе $R_2$ и мощность, выделяющуюся на резисторе $R_3$, если $R_2 = 3 \text{ Ом}$, $R_3 = 4 \text{ Ом}$, а резисторы соединены по схеме, изображённой на рисунке:

a) 1.50;

б) 1.51.

Решение.

Дано:

$R_1 = 12$ Ом

$t = 20$ мин

$Q_1 = 3,6$ кДж

$R_2 = 3$ Ом

$R_3 = 4$ Ом

Перевод в систему СИ:

$t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

$Q_1 = 3,6 \text{ кДж} = 3,6 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 3600 \text{ Дж}$

Найти:

$I_2$ - ?

$P_3$ - ?

Решение:

Сначала найдем силу тока $I_1$, протекающего через резистор $R_1$, используя закон Джоуля-Ленца:

$Q_1 = I_1^2 R_1 t$

Отсюда выразим силу тока $I_1$:

$I_1 = \sqrt{\frac{Q_1}{R_1 t}} = \sqrt{\frac{3600 \text{ Дж}}{12 \text{ Ом} \cdot 1200 \text{ с}}} = \sqrt{\frac{3600}{14400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0,5 \text{ А}$

Дальнейшее решение зависит от схемы соединения резисторов. Поскольку схемы в условии не приведены, будем исходить из наиболее распространенных конфигураций для случаев а) и б).

а) 1.50

Предположим, что схема 1.50 представляет собой последовательное соединение резистора $R_1$ и параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$. При таком соединении общий ток, протекающий через параллельный участок с резисторами $R_2$ и $R_3$, равен току $I_1$.

$I_{общ} = I_1 = I_2 + I_3 = 0,5 \text{ А}$

Напряжения на параллельно соединенных резисторах $R_2$ и $R_3$ равны:

$U_2 = U_3$

Используя закон Ома ($U = IR$), получаем:

$I_2 R_2 = I_3 R_3$

Подставим известные значения сопротивлений:

$I_2 \cdot 3 = I_3 \cdot 4 \implies I_3 = \frac{3}{4} I_2$

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} I_2 + I_3 = 0,5 \\ I_3 = \frac{3}{4} I_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$I_2 + \frac{3}{4} I_2 = 0,5 \implies \frac{7}{4} I_2 = 0,5$

$I_2 = \frac{0,5 \cdot 4}{7} = \frac{2}{7} \approx 0,286 \text{ А}$

Найдем ток $I_3$, необходимый для расчета мощности $P_3$:

$I_3 = 0,5 - I_2 = 0,5 - \frac{2}{7} = \frac{3,5 - 2}{7} = \frac{1,5}{7} = \frac{3}{14} \text{ А}$

Мощность, выделяющаяся на резисторе $R_3$, вычисляется по формуле $P_3 = I_3^2 R_3$:

$P_3 = (\frac{3}{14} \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} = \frac{9}{196} \cdot 4 = \frac{9}{49} \text{ Вт} \approx 0,184 \text{ Вт}$

Ответ: $I_2 \approx 0,286 \text{ А}$, $P_3 \approx 0,184 \text{ Вт}$.

б) 1.51

Предположим, что схема 1.51 представляет собой параллельное соединение резистора $R_1$ и ветви, состоящей из последовательно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$. При таком соединении напряжение на ветви с резистором $R_1$ равно напряжению на ветви с резисторами $R_2$ и $R_3$.

$U_1 = U_{23}$

Найдем напряжение на резисторе $R_1$:

$U_1 = I_1 R_1 = 0,5 \text{ А} \cdot 12 \text{ Ом} = 6 \text{ В}$

Следовательно, напряжение на второй ветви $U_{23} = 6 \text{ В}$.

При последовательном соединении резисторов $R_2$ и $R_3$ их общее сопротивление равно $R_{23} = R_2 + R_3$. Ток, протекающий через них, одинаков: $I_{23} = I_2 = I_3$.

$R_{23} = 3 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 7 \text{ Ом}$

Силу тока в этой ветви найдем по закону Ома:

$I_2 = \frac{U_{23}}{R_{23}} = \frac{6 \text{ В}}{7 \text{ Ом}} \approx 0,857 \text{ А}$

Так как ток $I_3$ равен току $I_2$, то $I_3 = \frac{6}{7} \text{ А}$.

Мощность, выделяющаяся на резисторе $R_3$, вычисляется по формуле $P_3 = I_3^2 R_3$:

$P_3 = (\frac{6}{7} \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} = \frac{36}{49} \cdot 4 = \frac{144}{49} \text{ Вт} \approx 2,94 \text{ Вт}$

Ответ: $I_2 \approx 0,857 \text{ А}$, $P_3 \approx 2,94 \text{ Вт}$.