Номер 1.124, страница 22 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.124, страница 22.

Условие.

1.124. Сила тока в проводнике сопротивлением 100 Ом равномерно убывает от 10 А до 0 за 30 с. Определите количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике.

Решение.

Дано:

Сопротивление проводника, $R = 100 \text{ Ом}$

Начальная сила тока, $I_0 = 10 \text{ А}$

Конечная сила тока, $I_k = 0 \text{ А}$

Промежуток времени, $\Delta t = 30 \text{ с}$

Найти:

Количество теплоты, $\text{Q}$

Решение:

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике при прохождении через него электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца. Так как сила тока изменяется со временем, необходимо использовать его интегральную форму. Мгновенная тепловая мощность равна $P(t) = I(t)^2 R$.

Тогда количество теплоты, выделившееся за промежуток времени $\Delta t$, равно интегралу от мощности по времени:

$Q = \int_{0}^{\Delta t} P(t) dt = \int_{0}^{\Delta t} I(t)^2 R dt$

По условию задачи, сила тока убывает равномерно (линейно) от начального значения $I_0$ до нуля. Зависимость силы тока от времени $\text{t}$ можно описать линейной функцией:

$I(t) = I_0 - kt$

где $\text{k}$ – скорость убывания тока. В момент времени $t = \Delta t$ сила тока $I(\Delta t) = 0$. Подставив это в уравнение, найдем $\text{k}$:

$0 = I_0 - k \Delta t \implies k = \frac{I_0}{\Delta t}$

Таким образом, закон изменения тока со временем имеет вид:

$I(t) = I_0 - \frac{I_0}{\Delta t} t = I_0 \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)$

Теперь подставим это выражение в интеграл для $\text{Q}$:

$Q = \int_{0}^{\Delta t} \left[I_0 \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)\right]^2 R dt$

Вынесем постоянные величины $I_0^2$ и $\text{R}$ за знак интеграла:

$Q = I_0^2 R \int_{0}^{\Delta t} \left(1 - \frac{t}{\Delta t}\right)^2 dt$

Вычислим интеграл, раскрыв скобки:

$\int_{0}^{\Delta t} \left(1 - \frac{2t}{\Delta t} + \frac{t^2}{(\Delta t)^2}\right) dt = \left[t - \frac{2t^2}{2\Delta t} + \frac{t^3}{3(\Delta t)^2}\right]_0^{\Delta t} = \left[t - \frac{t^2}{\Delta t} + \frac{t^3}{3(\Delta t)^2}\right]_0^{\Delta t}$

Подставляем пределы интегрирования:

$(\Delta t - \frac{(\Delta t)^2}{\Delta t} + \frac{(\Delta t)^3}{3(\Delta t)^2}) - (0 - 0 + 0) = \Delta t - \Delta t + \frac{\Delta t}{3} = \frac{\Delta t}{3}$

В итоге получаем формулу для расчета количества теплоты:

$Q = I_0^2 R \frac{\Delta t}{3}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$Q = \frac{(10 \text{ А})^2 \cdot 100 \text{ Ом} \cdot 30 \text{ с}}{3} = \frac{100 \cdot 100 \cdot 30}{3} = 10000 \cdot 10 = 100000 \text{ Дж}$

Результат можно выразить в килоджоулях:

$Q = 100 \text{ кДж}$

Ответ: $100 \text{ кДж}$.