Номер 1.121, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Работа и мощность постоянного тока - номер 1.121, страница 21.

Условие.

1.121*. В схеме (см. рис. 1.52) сопротивления резисторов $R_1 = 2 \text{ Ом}$, $R_2 = 4 \text{ Ом}$, $R_3 = 1 \text{ Ом}$, $R_4 = 2 \text{ Ом}$. Определите:

а) в каком из резисторов при протекании тока выделится наибольшее количество теплоты, а в каком наименьшее;

б) отношение наибольшего количества теплоты к наименьшему.

Рис. 1.52

Решение.

Дано:

$R_1 = 2$ Ом

$R_2 = 4$ Ом

$R_3 = 1$ Ом

$R_4 = 2$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Резистор, в котором выделяется наибольшее количество теплоты ($Q_{max}$), и резистор, в котором выделяется наименьшее количество теплоты ($Q_{min}$).

б) Отношение $\frac{Q_{max}}{Q_{min}}$.

Решение:

Схема на рисунке 1.52 представляет собой две параллельно соединенные ветви. Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_3$ и $R_4$.

Количество теплоты, выделяемое в проводнике с током, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 R t$

где $\text{I}$ – сила тока, протекающего через резистор, $\text{R}$ – его сопротивление, $\text{t}$ – время протекания тока. Так как время для всех резисторов одинаково, то количество теплоты будет прямо пропорционально мощности $P = I^2 R$.

1. Найдем общее сопротивление каждой из параллельных ветвей.

Для верхней ветви (последовательное соединение $R_1$ и $R_2$):

$R_{12} = R_1 + R_2 = 2 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 6 \text{ Ом}$

Для нижней ветви (последовательное соединение $R_3$ и $R_4$):

$R_{34} = R_3 + R_4 = 1 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 3 \text{ Ом}$

2. Определим силу тока в каждой ветви.

При параллельном соединении напряжение $\text{U}$ на обеих ветвях одинаково. Сила тока в каждой ветви обратно пропорциональна ее сопротивлению.

Сила тока в верхней ветви:

$I_{12} = \frac{U}{R_{12}} = \frac{U}{6}$

Поскольку $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно, ток через них одинаков: $I_1 = I_2 = I_{12} = \frac{U}{6}$.

Сила тока в нижней ветви:

$I_{34} = \frac{U}{R_{34}} = \frac{U}{3}$

Поскольку $R_3$ и $R_4$ соединены последовательно, ток через них одинаков: $I_3 = I_4 = I_{34} = \frac{U}{3}$.

3. Вычислим количество теплоты, выделяемое на каждом резисторе (для удобства будем оперировать мощностью $P = Q/t$).

$P_1 = I_1^2 R_1 = (\frac{U}{6})^2 \cdot 2 = \frac{U^2}{36} \cdot 2 = \frac{2U^2}{36} = \frac{U^2}{18}$

$P_2 = I_2^2 R_2 = (\frac{U}{6})^2 \cdot 4 = \frac{U^2}{36} \cdot 4 = \frac{4U^2}{36} = \frac{U^2}{9}$

$P_3 = I_3^2 R_3 = (\frac{U}{3})^2 \cdot 1 = \frac{U^2}{9} \cdot 1 = \frac{U^2}{9}$

$P_4 = I_4^2 R_4 = (\frac{U}{3})^2 \cdot 2 = \frac{U^2}{9} \cdot 2 = \frac{2U^2}{9}$

4. Сравним полученные значения мощностей (а следовательно, и количеств теплоты).

Приведем все дроби к общему знаменателю 18:

$P_1 = \frac{1}{18} U^2$

$P_2 = \frac{2}{18} U^2$

$P_3 = \frac{2}{18} U^2$

$P_4 = \frac{4}{18} U^2$

Из сравнения видно, что $P_4 > P_2 = P_3 > P_1$.

а)

Наибольшее количество теплоты выделяется в резисторе с наибольшей мощностью, то есть в $R_4$.

Наименьшее количество теплоты выделяется в резисторе с наименьшей мощностью, то есть в $R_1$.

Ответ: Наибольшее количество теплоты выделится в резисторе $R_4$, а наименьшее – в резисторе $R_1$.

б)

Найдем отношение наибольшего количества теплоты к наименьшему. Это отношение равно отношению соответствующих мощностей.

$\frac{Q_{max}}{Q_{min}} = \frac{P_{max}}{P_{min}} = \frac{P_4}{P_1} = \frac{\frac{4}{18} U^2}{\frac{1}{18} U^2} = 4$

Ответ: 4.