Номер 1.97, страница 18 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для участка цепи - номер 1.97, страница 18.

Условие.

1.97. Вольтметр, сопротивление которого $2 \cdot 10^4$ Ом, подключённый к источнику постоянного напряжения через резистор сопротивлением $\text{r}$, показывает напряжение 10 В. Если к этому вольтметру присоединить второй такой же вольтметр (рис. 1.39), то показание каждого прибора будет 8 В. Найдите сопротивление $\text{r}$.

Рис. 1.39

Решение.

Дано:

Сопротивление вольтметра $R_V = 2 \cdot 10^4$ Ом

Показание одного вольтметра $U_1 = 10$ В

Показание каждого из двух параллельно соединенных вольтметров $U_2 = 8$ В

Найти:

Сопротивление резистора $\text{r}$

Решение:

Пусть $\text{U}$ – напряжение источника постоянного напряжения, к которому подключена цепь (напряжение между точками А и В). Вольтметр можно рассматривать как резистор с сопротивлением $R_V$.

1. Рассмотрим первый случай, когда в цепь включен один вольтметр. Резистор $\text{r}$ и вольтметр $R_V$ соединены последовательно. Общее сопротивление цепи:

$R_{общ1} = r + R_V$

Согласно закону Ома, ток в цепи равен:

$I_1 = \frac{U}{R_{общ1}} = \frac{U}{r + R_V}$

Вольтметр измеряет падение напряжения на самом себе. Это напряжение $U_1$:

$U_1 = I_1 \cdot R_V = \frac{U \cdot R_V}{r + R_V}$

Подставляя известные значения, получаем первое уравнение:

$10 = \frac{U \cdot 2 \cdot 10^4}{r + 2 \cdot 10^4}$ (1)

2. Рассмотрим второй случай, когда к первому вольтметру параллельно подключают второй такой же. Эквивалентное сопротивление двух одинаковых вольтметров, соединенных параллельно, равно:

$R_{V_{экв}} = \frac{R_V \cdot R_V}{R_V + R_V} = \frac{R_V^2}{2R_V} = \frac{R_V}{2}$

Новое общее сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора $\text{r}$ и участка с двумя вольтметрами:

$R_{общ2} = r + R_{V_{экв}} = r + \frac{R_V}{2}$

Новый ток в цепи:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ2}} = \frac{U}{r + R_V/2}$

В этом случае каждый вольтметр показывает напряжение $U_2$ на параллельном участке:

$U_2 = I_2 \cdot R_{V_{экв}} = \frac{U}{r + R_V/2} \cdot \frac{R_V}{2}$

Подставляя известные значения, получаем второе уравнение:

$8 = \frac{U}{r + (2 \cdot 10^4)/2} \cdot \frac{2 \cdot 10^4}{2} = \frac{U \cdot 10^4}{r + 10^4}$ (2)

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: $\text{U}$ и $\text{r}$. Выразим напряжение источника $\text{U}$ из каждого уравнения.

Из уравнения (1):

$U = \frac{10 \cdot (r + R_V)}{R_V}$

Из уравнения (2):

$U = \frac{8 \cdot (r + R_V/2)}{R_V/2} = \frac{16 \cdot (r + R_V/2)}{R_V}$

Приравняем правые части полученных выражений для $\text{U}$:

$\frac{10 \cdot (r + R_V)}{R_V} = \frac{16 \cdot (r + R_V/2)}{R_V}$

Умножим обе части на $R_V$ и раскроем скобки:

$10(r + R_V) = 16(r + R_V/2)$

$10r + 10R_V = 16r + 8R_V$

Соберем слагаемые с $\text{r}$ в одной части, а с $R_V$ в другой:

$10R_V - 8R_V = 16r - 10r$

$2R_V = 6r$

Отсюда находим $\text{r}$:

$r = \frac{2R_V}{6} = \frac{R_V}{3}$

4. Подставим числовое значение сопротивления вольтметра $R_V$:

$r = \frac{2 \cdot 10^4 \text{ Ом}}{3} \approx 6667 \text{ Ом}$

Ответ: $r = \frac{2 \cdot 10^4}{3} \text{ Ом} \approx 6,67 \text{ кОм}$.