Номер 1.93, страница 17 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для участка цепи - номер 1.93, страница 17.

Условие.

1.93*. В схеме, приведённой на рисунке 1.35, напряжение $U_{AB} = 20$ В, сопротивления резисторов $R_1 = R_3 = 5$ Ом, $R_2 = 0,5$ Ом, $R_4 = 5$ Ом, $R_5 = 10$ Ом, $R_6 = 30$ Ом. Найдите:

а) силу тока в резисторах $R_1$, $R_3$, $R_5$;

б) разность потенциалов между точками c и d;

в) разность потенциалов между точками А и d.

Решение.

Дано:

$U_{AB} = 20 \text{ В}$

$R_1 = 5 \text{ Ом}$

$R_2 = 0,5 \text{ Ом}$

$R_3 = 5 \text{ Ом}$

$R_4 = 5 \text{ Ом}$

$R_5 = 10 \text{ Ом}$

$R_6 = 30 \text{ Ом}$

Найти:

a) $I_1, I_3, I_5$

б) $U_{cd}$

в) $U_{Ad}$

Решение:

Представленная схема является мостовой. Резистор $R_1$ соединен последовательно с мостом, образованным резисторами $R_2, R_4, R_5, R_6$ и $R_3$. Проверим условие баланса моста: $\frac{R_2}{R_4} = \frac{R_5}{R_6}$.

$\frac{0,5}{5} = 0,1$

$\frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0,33$

Поскольку $0,1 \neq \frac{1}{3}$, мост не является сбалансированным, и через резистор $R_3$ протекает ток $I_3 \neq 0$.

Для нахождения токов в цепи применим правила Кирхгофа. Обозначим узлы: X - после резистора $R_1$, c - между $R_2, R_3, R_5$, d - между $R_4, R_3, R_6$, Y - у точки B. Направим токи следующим образом: $I_1$ течет от А к X, где разветвляется на $I_2$ (через $R_2$) и $I_4$ (через $R_4$). В узле c ток $I_2$ разветвляется на $I_3$ (через $R_3$) и $I_5$ (через $R_5$). В узле d токи $I_4$ и $I_3$ сходятся в ток $I_6$ (через $R_6$).

Согласно первому правилу Кирхгофа для узлов X, c, d:

$I_1 = I_2 + I_4$

$I_2 = I_3 + I_5$

$I_6 = I_4 + I_3$

Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутых контуров:

1. Для контура XcdX: $I_2 R_2 + I_3 R_3 - I_4 R_4 = 0 \implies 0,5 I_2 + 5 I_3 - 5 I_4 = 0$.

2. Для контура cdYc: $I_3 R_3 + I_6 R_6 - I_5 R_5 = 0 \implies 5 I_3 + 30 I_6 - 10 I_5 = 0$.

3. Для внешнего контура A-X-d-Y-B: $I_1 R_1 + I_4 R_4 + I_6 R_6 = U_{AB} \implies 5 I_1 + 5 I_4 + 30 I_6 = 20$.

Решим полученную систему уравнений. Выразим все токи через $I_3, I_4, I_5$.

$I_2 = I_3 + I_5$

$I_6 = I_4 + I_3$

$I_1 = I_2 + I_4 = I_3 + I_5 + I_4$

Подставляем в уравнения для контуров:

1. $0,5(I_3+I_5) + 5 I_3 - 5 I_4 = 0 \implies 5,5 I_3 + 0,5 I_5 - 5 I_4 = 0 \implies 11 I_3 + I_5 - 10 I_4 = 0$

2. $5 I_3 + 30(I_4+I_3) - 10 I_5 = 0 \implies 35 I_3 - 10 I_5 + 30 I_4 = 0 \implies 7 I_3 - 2 I_5 + 6 I_4 = 0$

3. $5(I_3+I_5+I_4) + 5 I_4 + 30(I_4+I_3) = 20 \implies 35 I_3 + 5 I_5 + 40 I_4 = 20 \implies 7 I_3 + I_5 + 8 I_4 = 4$

Из уравнения (1) выразим $I_4$: $I_4 = \frac{11 I_3 + I_5}{10}$.

Подставим $I_4$ в уравнение (2):

$7 I_3 - 2 I_5 + 6\frac{11 I_3 + I_5}{10} = 0 \implies 70 I_3 - 20 I_5 + 66 I_3 + 6 I_5 = 0 \implies 136 I_3 - 14 I_5 = 0 \implies I_5 = \frac{136}{14} I_3 = \frac{68}{7} I_3$.

Подставим $I_4$ и $I_5$ в уравнение (3):

$7 I_3 + \frac{68}{7} I_3 + 8\frac{11 I_3 + \frac{68}{7} I_3}{10} = 4$

$I_3 \left( 7 + \frac{68}{7} + \frac{8}{10}\left(11 + \frac{68}{7}\right) \right) = 4$

$I_3 \left( \frac{49+68}{7} + \frac{4}{5}\frac{77+68}{7} \right) = 4$

$I_3 \left( \frac{117}{7} + \frac{4}{5}\frac{145}{7} \right) = 4$

$I_3 \left( \frac{117}{7} + \frac{116}{7} \right) = 4 \implies I_3 \frac{233}{7} = 4 \implies I_3 = \frac{28}{233} \text{ А}$.

a) силу тока в резисторах R1, R3, R5

Теперь найдем искомые токи:

$I_3 = \frac{28}{233} \text{ А} \approx 0,12 \text{ А}$.

$I_5 = \frac{68}{7} I_3 = \frac{68}{7} \cdot \frac{28}{233} = \frac{272}{233} \text{ А} \approx 1,17 \text{ А}$.

Найдем вспомогательные токи: $I_2 = I_3 + I_5 = \frac{28}{233} + \frac{272}{233} = \frac{300}{233}$ А, $I_4 = \frac{11 I_3 + I_5}{10} = \frac{1}{10} \left( 11 \frac{28}{233} + \frac{272}{233} \right) = \frac{580}{2330} = \frac{58}{233}$ А.

Ток в резисторе R1: $I_1 = I_2 + I_4 = \frac{300}{233} + \frac{58}{233} = \frac{358}{233} \text{ А} \approx 1,54 \text{ А}$.

Ответ: $I_1 = \frac{358}{233} \text{ А} \approx 1,54 \text{ А}$; $I_3 = \frac{28}{233} \text{ А} \approx 0,12 \text{ А}$; $I_5 = \frac{272}{233} \text{ А} \approx 1,17 \text{ А}$.

б) разность потенциалов между точками c и d

Разность потенциалов $U_{cd}$ — это напряжение на резисторе $R_3$.

$U_{cd} = I_3 R_3 = \frac{28}{233} \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} = \frac{140}{233} \text{ В} \approx 0,60 \text{ В}$.

Так как ток $I_3$ получился положительным, его направление совпадает с выбранным (от c к d), следовательно, потенциал точки c выше потенциала точки d.

Ответ: $U_{cd} = \frac{140}{233} \text{ В} \approx 0,60 \text{ В}$.

в) разность потенциалов между точками A и d

Разность потенциалов $U_{Ad}$ найдем как сумму падений напряжения на участке AX и на участке Xd.

$U_{Ad} = U_{AX} + U_{Xd} = I_1 R_1 + I_4 R_4$.

$U_{Ad} = \left( \frac{358}{233} \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} \right) + \left( \frac{58}{233} \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} \right) = \frac{1790}{233} + \frac{290}{233} = \frac{2080}{233} \text{ В} \approx 8,93 \text{ В}$.

Ответ: $U_{Ad} = \frac{2080}{233} \text{ В} \approx 8,93 \text{ В}$.