Номер 2.23, страница 40 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в электролитах - номер 2.23, страница 40.

Условие.

2.23. При электролитическом получении алюминия используются ванны, работающие под напряжением 5 В при силе тока 40 кА. Найдите:

а) время, необходимое для получения 1 т алюминия;

б) расход энергии на получение 1 кг алюминия.

Решение.

Дано:

Напряжение: $U = 5 \text{ В}$

Сила тока: $I = 40 \text{ кА}$

Масса алюминия для пункта а): $m_а = 1 \text{ т}$

Масса алюминия для пункта б): $m_б = 1 \text{ кг}$

Для решения также необходимы справочные данные для алюминия (Al):

Молярная масса: $M = 27 \text{ г/моль}$

Валентность иона алюминия ($Al^{3+}$): $z = 3$

Постоянная Фарадея: $F \approx 96485 \text{ Кл/моль}$

Перевод величин в систему СИ:

$I = 40 \text{ кА} = 40 \cdot 10^3 \text{ А}$

$m_а = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

$M = 27 \text{ г/моль} = 0.027 \text{ кг/моль}$

Найти:

а) $\text{t}$ — время, необходимое для получения 1 т алюминия;

б) $\text{W}$ — расход энергии на получение 1 кг алюминия.

Решение:

Масса вещества, выделившегося на электроде при электролизе, определяется по объединенному закону Фарадея:

$m = k \cdot I \cdot t$

где $\text{k}$ — электрохимический эквивалент вещества, который вычисляется по формуле:

$k = \frac{M}{z \cdot F}$

Таким образом, формула для массы принимает вид:

$m = \frac{M}{z \cdot F} \cdot I \cdot t$

а) время, необходимое для получения 1 т алюминия;

Выразим из основной формулы время $\text{t}$:

$t = \frac{m_а \cdot z \cdot F}{M \cdot I}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$t = \frac{1000 \text{ кг} \cdot 3 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}}{0.027 \text{ кг/моль} \cdot 40 \cdot 10^3 \text{ А}} = \frac{289455000}{1080} \approx 268014 \text{ с}$

Для наглядности переведем полученное время из секунд в часы:

$t \approx \frac{268014 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 74.45 \text{ ч}$

Ответ: для получения 1 тонны алюминия необходимо примерно 74.45 часа.

б) расход энергии на получение 1 кг алюминия.

Расход электрической энергии $\text{W}$ можно найти по формуле:

$W = P \cdot t = U \cdot I \cdot t$

где $\text{t}$ — это время, необходимое для получения 1 кг алюминия. Можно найти это время и подставить в формулу, но более точный результат можно получить, если сначала подставить в формулу для энергии выражение для времени $t = \frac{m_б \cdot z \cdot F}{M \cdot I}$:

$W = U \cdot I \cdot \left(\frac{m_б \cdot z \cdot F}{M \cdot I}\right)$

Сила тока $\text{I}$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем формулу для расчета энергии, которая не зависит от силы тока:

$W = \frac{U \cdot m_б \cdot z \cdot F}{M}$

Подставим числовые значения:

$W = \frac{5 \text{ В} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 3 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}}{0.027 \text{ кг/моль}} \approx 53602778 \text{ Дж}$

Переведем джоули в мегаджоули (МДж) для удобства:

$W \approx 53.6 \text{ МДж}$

Ответ: расход энергии на получение 1 кг алюминия составляет примерно 53.6 МДж.