Номер 2.18, страница 40 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в электролитах - номер 2.18, страница 40.

Условие.

2.18. Изделие площадью поверхности $1,82 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$ нужно покрыть слоем серебра толщиной 20 мкм при силе тока 0,525 А (рис. 2.6). ЭДС источника тока 12 В, его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало. Сопротивление на реостате 20 Ом. Найдите:

а) время, которое длится электролиз;

б) как изменится это время, если сопротивление реостата увеличить в 2 раза.

Рис. 2.6

Решение.

Дано:

$S = 1,82 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$
$h = 20 \, \text{мкм} = 20 \cdot 10^{-6} \, \text{м}$
$I_1 = 0,525 \, \text{А}$
$\mathcal{E} = 12 \, \text{В}$
$R_1 = 20 \, \text{Ом}$
$\rho_{Ag} = 10,5 \, \text{г/см}^3 = 10500 \, \text{кг/м}^3$ (плотность серебра)
$M_{Ag} = 108 \, \text{г/моль} = 0,108 \, \text{кг/моль}$ (молярная масса серебра)
$n = 1$ (валентность ионов серебра)
$F = 96485 \, \text{Кл/моль}$ (постоянная Фарадея)

Найти:

а) $t_1$ - время электролиза;

б) $\frac{t_2}{t_1}$ - как изменится время, если сопротивление реостата увеличить в 2 раза.

Решение:

а) время, которое длится электролиз

Согласно объединенному закону Фарадея для электролиза, масса вещества $\text{m}$, выделившегося на электроде, определяется формулой:
$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I t$
где $\text{M}$ – молярная масса вещества, $\text{n}$ – валентность ионов, $\text{F}$ – постоянная Фарадея, $\text{I}$ – сила тока, $\text{t}$ – время.

Массу серебра, необходимую для покрытия изделия, можно найти через объем и плотность. Объем $\text{V}$ слоя серебра равен произведению площади поверхности изделия $\text{S}$ на толщину слоя $\text{h}$:
$V = S \cdot h$
Масса серебра:
$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot h$

Приравняем два выражения для массы:
$\rho S h = \frac{M}{nF} I_1 t_1$
Отсюда выразим время электролиза $t_1$:
$t_1 = \frac{\rho S h n F}{M I_1}$

Подставим числовые значения:
$m = 10500 \, \text{кг/м}^3 \cdot 1,82 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 \cdot 20 \cdot 10^{-6} \, \text{м} = 3,822 \cdot 10^{-3} \, \text{кг}$
$t_1 = \frac{3,822 \cdot 10^{-3} \, \text{кг} \cdot 1 \cdot 96485 \, \text{Кл/моль}}{0,108 \, \text{кг/моль} \cdot 0,525 \, \text{А}} \approx \frac{368,77}{0,0567} \, \text{с} \approx 6504 \, \text{с}$

Переведем время в часы и минуты для наглядности:
$6504 \, \text{с} = 1 \, \text{ч} \, 48 \, \text{мин} \, 24 \, \text{с}$

Ответ: время электролиза составляет примерно $6504$ с (1 час 48 минут 24 секунды).

б) как изменится это время, если сопротивление реостата увеличить в 2 раза

Сила тока в цепи определяется законом Ома для полной цепи:
$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r}$
В данном случае внешнее сопротивление $R_{внеш}$ состоит из сопротивления реостата $\text{R}$ и сопротивления электролита $R_{эл}$. Внутренним сопротивлением источника $\text{r}$ пренебрегаем ($r \approx 0$).
$I = \frac{\mathcal{E}}{R + R_{эл}}$

В начальных условиях ($R_1 = 20 \, \text{Ом}$) сила тока $I_1 = 0,525 \, \text{А}$. Используя эти данные, найдем сопротивление электролита $R_{эл}$:
$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_{эл}} \implies R_1 + R_{эл} = \frac{\mathcal{E}}{I_1}$
$R_{эл} = \frac{\mathcal{E}}{I_1} - R_1 = \frac{12 \, \text{В}}{0,525 \, \text{А}} - 20 \, \text{Ом} \approx 22,857 \, \text{Ом} - 20 \, \text{Ом} \approx 2,857 \, \text{Ом}$

Когда сопротивление реостата увеличивается в 2 раза, его новое значение становится $R_2 = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot 20 \, \text{Ом} = 40 \, \text{Ом}$.
Новая сила тока в цепи $I_2$ будет равна:
$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_{эл}} = \frac{12 \, \text{В}}{40 \, \text{Ом} + 2,857 \, \text{Ом}} = \frac{12 \, \text{В}}{42,857 \, \text{Ом}} \approx 0,28 \, \text{А}$

Масса серебра, которую необходимо нанести на изделие, не изменяется. Из закона Фарадея ($m \propto It$) следует, что для осаждения той же массы вещества произведение силы тока на время должно оставаться постоянным:
$I_1 t_1 = I_2 t_2$
Отсюда найдем, как изменится время, то есть найдем отношение $t_2 / t_1$:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{I_1}{I_2}$

Подставим вычисленные значения токов:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{0,525 \, \text{А}}{0,28 \, \text{А}} = 1,875$
Следовательно, время, необходимое для электролиза, увеличится в 1,875 раза.

Ответ: время электролиза увеличится в 1,875 раза.