Номер 2.11, страница 38 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в электролитах - номер 2.11, страница 38.

Условие.

2.11*. Сила тока, проходящего через электролитическую ванну с раствором медного купороса, меняется с течением времени так, как показано на графике (рис. 2.2). Определите:

а) массу меди, выделившейся на катоде через 1 мин после начала наблюдения;

б) массу катода в момент времени $t_1 = 3 \text{ мин}$, если в момент времени $t_2 = 6 \text{ мин}$ его масса равна 40,75 г;

в) сколько ионов меди прошло через поперечное сечение ванны за всё время наблюдения.

Рис. 2.2

Решение.

Дано:

График зависимости силы тока $\text{I}$ от времени $\text{t}$ в электролитической ванне с раствором медного купороса ($CuSO_4$).
Из графика:
При $t \in [0, 1 \text{ мин}]$, $\text{I}$ линейно растет от 0 до 2 А.
При $t \in [1, 4 \text{ мин}]$, $I = 2 \text{ А}$ (постоянный).
При $t \in [4, 8 \text{ мин}]$, $\text{I}$ линейно убывает от 2 до 0 А.
а) $t_a = 1 \text{ мин}$
б) $t_1 = 3 \text{ мин}$, $t_2 = 6 \text{ мин}$, масса катода в момент $t_2$ равна $m_k(t_2) = 40,75 \text{ г}$.
в) Общее время наблюдения $t_{общ} = 8 \text{ мин}$.
Для ионов меди $Cu^{2+}$ валентность $z=2$.
Справочные данные:
Молярная масса меди $M(Cu) = 63,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.
Постоянная Фарадея $F = 96485 \text{ Кл/моль}$.
Элементарный заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$.

Перевод в СИ:
$t_a = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
$t_1 = 3 \text{ мин} = 180 \text{ с}$
$t_2 = 6 \text{ мин} = 360 \text{ с}$
$m_k(t_2) = 40,75 \text{ г} = 40,75 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$t_{общ} = 8 \text{ мин} = 480 \text{ с}$

Найти:

а) $m_a$ — массу меди, выделившейся на катоде через 1 мин.
б) $m_k(t_1)$ — массу катода в момент времени $t_1 = 3$ мин.
в) $\text{N}$ — число ионов меди, прошедших через поперечное сечение ванны за всё время наблюдения.

Решение:

Масса вещества, выделившегося при электролизе, определяется по первому закону Фарадея:$m = k \cdot q$, где $\text{q}$ — заряд, прошедший через электролит, а $\text{k}$ — электрохимический эквивалент вещества.Электрохимический эквивалент меди:$k = \frac{M}{zF} = \frac{63,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \approx 3,29 \cdot 10^{-7} \text{ кг/Кл}$.Заряд $\text{q}$, прошедший через электролит за определенный промежуток времени, численно равен площади фигуры под графиком зависимости силы тока от времени $I(t)$ на этом промежутке.

а) Найдем массу меди, выделившейся на катоде за время $t_a = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$. Для этого сначала вычислим заряд $q_a$, прошедший за это время. Он равен площади треугольника под графиком на интервале от 0 до 1 мин.

$q_a = \frac{1}{2} \cdot t_a \cdot I_{max} = \frac{1}{2} \cdot (1 \cdot 60 \text{ с}) \cdot 2 \text{ А} = 60 \text{ Кл}$.

Теперь найдем массу меди:

$m_a = k \cdot q_a = 3,29 \cdot 10^{-7} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \cdot 60 \text{ Кл} \approx 19,74 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 19,74 \text{ мг}$.

Ответ: $m_a \approx 19,7 \text{ мг}$.

б) Масса катода в момент времени $t_1$ равна массе катода в момент $t_2$ минус масса меди, которая выделилась за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

$m_k(t_1) = m_k(t_2) - \Delta m_{12}$.

Найдем массу $\Delta m_{12}$, выделившуюся за время от $t_1 = 3$ мин до $t_2 = 6$ мин. Для этого вычислим заряд $q_{12}$, прошедший за это время. Он равен площади фигуры под графиком на данном интервале. Разобьем эту площадь на две части: прямоугольник (от 3 до 4 мин) и трапецию (от 4 до 6 мин).

Заряд на интервале от 3 до 4 мин ($I=2$ A):

$q_{3-4} = I \cdot \Delta t = 2 \text{ А} \cdot (4-3) \text{ мин} = 2 \text{ А} \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ Кл}$.

Заряд на интервале от 4 до 6 мин (ток падает с 2 А до 1 А):

$q_{4-6} = \frac{I(4) + I(6)}{2} \cdot \Delta t = \frac{2 \text{ А} + 1 \text{ А}}{2} \cdot (6-4) \text{ мин} = 1,5 \text{ А} \cdot 2 \cdot 60 \text{ с} = 180 \text{ Кл}$.

Общий заряд за промежуток от $t_1$ до $t_2$:

$q_{12} = q_{3-4} + q_{4-6} = 120 \text{ Кл} + 180 \text{ Кл} = 300 \text{ Кл}$.

Масса выделившейся меди:

$\Delta m_{12} = k \cdot q_{12} = 3,29 \cdot 10^{-7} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \cdot 300 \text{ Кл} = 9,87 \cdot 10^{-5} \text{ кг} = 0,0987 \text{ г}$.

Масса катода в момент времени $t_1$:

$m_k(t_1) = 40,75 \text{ г} - 0,0987 \text{ г} \approx 40,65 \text{ г}$.

Ответ: $m_k(t_1) \approx 40,65 \text{ г}$.

в) Найдем общее число ионов меди $\text{N}$, прошедших через поперечное сечение ванны за всё время наблюдения $t_{общ} = 8$ мин. Для этого сначала вычислим общий заряд $q_{общ}$, который равен полной площади фигуры под графиком.

Полная площадь состоит из трех частей:

1. Треугольник (0-1 мин): $q_1 = \frac{1}{2} \cdot (1 \cdot 60 \text{ с}) \cdot 2 \text{ А} = 60 \text{ Кл}$.

2. Прямоугольник (1-4 мин): $q_2 = (3 \cdot 60 \text{ с}) \cdot 2 \text{ А} = 360 \text{ Кл}$.

3. Треугольник (4-8 мин): $q_3 = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 60 \text{ с}) \cdot 2 \text{ А} = 240 \text{ Кл}$.

Общий заряд:

$q_{общ} = q_1 + q_2 + q_3 = 60 + 360 + 240 = 660 \text{ Кл}$.

Заряд одного иона меди $Cu^{2+}$ равен $q_{ион} = z \cdot e$, где $z=2$.

$q_{ион} = 2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$.

Общее число ионов:

$N = \frac{q_{общ}}{q_{ион}} = \frac{660 \text{ Кл}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 206,25 \cdot 10^{19} \approx 2,06 \cdot 10^{21}$.

Ответ: $N \approx 2,06 \cdot 10^{21}$ ионов.