Номер 5.100, страница 118 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.100, страница 118.

Условие.

5.100* Напряжение, при котором зажигается или гаснет неоновая лампа, включённая в сеть переменного тока, соответствует действующему значению напряжения этой сети. В течение каждого полупериода лампа горит 2/3 мс. Найдите частоту переменного тока.

Решение.

Дано:

Напряжение зажигания/гашения лампы, $U_{заж} = U_{дейст}$

Время горения лампы в течение полупериода, $t_{гор} = 2/3 \text{ мс} = \frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Частоту переменного тока, $\text{f}$ - ?

Решение:

Напряжение в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону: $u(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $u(t)$ – мгновенное значение напряжения, $U_m$ – амплитудное значение напряжения, а $\omega$ – циклическая частота.

Действующее (среднеквадратичное) значение напряжения $U_{дейст}$ связано с амплитудным соотношением: $U_{дейст} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

Согласно условию задачи, напряжение, при котором неоновая лампа зажигается и гаснет, равно действующему значению напряжения сети: $U_{заж} = U_{дейст}$.

Следовательно, лампа будет гореть в те промежутки времени, когда модуль мгновенного напряжения $|u(t)|$ не меньше напряжения зажигания $U_{заж}$: $|u(t)| \ge U_{заж}$.

Подставим выражения для $u(t)$ и $U_{заж}$ в это неравенство:

$|U_m \sin(\omega t)| \ge \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Сократив обе части на $U_m$ (которое не равно нулю), получим:

$|\sin(\omega t)| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рассмотрим один положительный полупериод, когда $\text{t}$ изменяется от $\text{0}$ до $T/2$ (где $\text{T}$ – период колебаний), и, соответственно, $\sin(\omega t) \ge 0$. В этом случае неравенство принимает вид: $\sin(\omega t) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Это неравенство выполняется, когда фаза колебаний $\omega t$ находится в интервале от $\frac{\pi}{4}$ до $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Пусть лампа зажигается в момент времени $t_1$ и гаснет в момент $t_2$ в течение этого полупериода. Тогда:

Момент зажигания: $\omega t_1 = \frac{\pi}{4} \implies t_1 = \frac{\pi}{4\omega}$

Момент гашения: $\omega t_2 = \frac{3\pi}{4} \implies t_2 = \frac{3\pi}{4\omega}$

Длительность горения лампы в течение одного полупериода равна разности этих моментов времени:

$t_{гор} = t_2 - t_1 = \frac{3\pi}{4\omega} - \frac{\pi}{4\omega} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением $\omega = 2\pi f$. Подставим это выражение в формулу для $t_{гор}$:

$t_{гор} = \frac{\pi}{2(2\pi f)} = \frac{1}{4f}$

Из этого соотношения выразим искомую частоту $\text{f}$:

$f = \frac{1}{4t_{гор}}$

Подставим числовое значение времени горения из условия задачи, переведенное в систему СИ:

$f = \frac{1}{4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{1}{\frac{8}{3} \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{3}{8 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{3000}{8} \text{ Гц} = 375 \text{ Гц}$.

Ответ: 375 Гц.