Номер 5.97, страница 117 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.97, страница 117.

Условие.

5.97*. Через какое время (в долях периода T) после прохождения нулевого значения мгновенное значение силы переменного тока равно действующему значению?

Решение.

Дано:

Зависимость силы переменного тока от времени: $i(t) = I_{max} \sin(\omega t)$ (так как отсчет времени начинается с момента прохождения нулевого значения).

Действующее значение тока: $I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$.

Условие: $i(t) = I_{eff}$.

Найти:

Время $\text{t}$ в долях периода $\text{T}$.

Решение:

Мгновенное значение силы переменного тока, изменяющегося по синусоидальному закону и проходящего через ноль в момент времени $t=0$, описывается уравнением:

$i(t) = I_{max} \sin(\omega t)$

где $I_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение силы тока, а $\omega$ — циклическая частота.

Действующее (эффективное) значение силы тока $I_{eff}$ для синусоидального тока связано с амплитудным значением $I_{max}$ следующим соотношением:

$I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$

Согласно условию задачи, необходимо найти момент времени $\text{t}$, в который мгновенное значение силы тока равно его действующему значению. Приравняем эти два выражения:

$i(t) = I_{eff}$

$I_{max} \sin(\omega t) = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$

Сократим обе части уравнения на $I_{max}$ (поскольку амплитуда тока не равна нулю):

$\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Нас интересует наименьшее положительное значение времени $\text{t}$, при котором это равенство выполняется. Это соответствует наименьшему положительному углу (фазе), синус которого равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$ радиан.

$\omega t = \frac{\pi}{4}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ формулой:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в наше уравнение для фазы:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{4}$

Выразим из этого уравнения время $\text{t}$:

$t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{\pi T}{8\pi} = \frac{T}{8}$

Следовательно, искомое время составляет одну восьмую часть периода.

Ответ: через время $t = \frac{T}{8}$.