Номер 5.98, страница 118 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.98, страница 118.

Условие.

5.98*. При каких фазах в пределах одного периода мгновенное значение напряжения равно по модулю половине амплитудного?

Решение.

Дано:

Мгновенное значение напряжения $\text{u}$ связано с амплитудным значением $U_m$ соотношением:

$|u| = \frac{1}{2} U_m$

Найти:

Фазы $\phi$ в пределах одного периода ($0 \le \phi < 2\pi$).

Решение:

Мгновенное значение напряжения при гармонических колебаниях зависит от фазы $\phi$ по синусоидальному (или косинусоидальному) закону. Выберем для описания синусоидальный закон:

$u = U_m \sin(\phi)$

где $U_m$ — амплитудное значение напряжения.

Согласно условию задачи, модуль мгновенного значения напряжения равен половине амплитудного:

$|u| = \frac{U_m}{2}$

Подставим выражение для $\text{u}$ в это условие:

$|U_m \sin(\phi)| = \frac{U_m}{2}$

Поскольку амплитуда $U_m$ является положительной величиной ($U_m > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $U_m$ без изменения знака:

$|\sin(\phi)| = \frac{1}{2}$

Данное уравнение с модулем распадается на два независимых уравнения:

1) $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$

2) $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем решения для каждого из этих уравнений в пределах одного периода, то есть для фаз в интервале от $\text{0}$ до $2\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $360^\circ$).

1) Для уравнения $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$, решения в указанном диапазоне находятся в первом и втором квадрантах тригонометрической окружности:

$\phi_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ рад, что соответствует $30^\circ$.

$\phi_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ рад, что соответствует $150^\circ$.

2) Для уравнения $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$, решения в указанном диапазоне находятся в третьем и четвертом квадрантах тригонометрической окружности:

$\phi_3 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ рад, что соответствует $210^\circ$.

$\phi_4 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ рад, что соответствует $330^\circ$.

Таким образом, в пределах одного периода существуют четыре значения фазы, при которых мгновенное значение напряжения по модулю равно половине амплитудного.

Ответ:

Мгновенное значение напряжения равно по модулю половине амплитудного при фазах $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$ (или $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$ и $330^\circ$).