Номер 5.99, страница 118 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.99, страница 118.

Условие.

5.99*. Какую часть периода будет светить неоновая лампа, если её включить в сеть, действующее значение напряжения в которой равно напряжению зажигания? Считать, что напряжение, при котором лампа гаснет, равно напряжению зажигания.

Решение.

Дано:

$U_{дейст} = U_{заж}$

$U_{гас} = U_{заж}$

Найти:

$\frac{\Delta t}{T}$ — часть периода, которую светит лампа.

Решение:

Напряжение в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону. Его мгновенное значение $u(t)$ можно описать формулой:

$u(t) = U_{max} \sin(\omega t)$

где $U_{max}$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — угловая частота.

Действующее (среднеквадратичное) значение напряжения $U_{дейст}$ связано с амплитудным значением для синусоидального тока следующим соотношением:

$U_{дейст} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Согласно условию задачи, действующее напряжение равно напряжению зажигания неоновой лампы $U_{заж}$:

$U_{дейст} = U_{заж}$

Из этого следует, что напряжение зажигания связано с амплитудным напряжением как:

$U_{заж} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Лампа будет светиться (гореть) в те промежутки времени, когда модуль мгновенного напряжения на ней будет больше или равен напряжению зажигания. Так как по условию напряжение гашения равно напряжению зажигания, условие горения лампы можно записать в виде неравенства:

$|u(t)| \ge U_{заж}$

Подставим в это неравенство выражения для $u(t)$ и $U_{заж}$:

$|U_{max} \sin(\omega t)| \ge \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Так как $U_{max} > 0$, можно разделить обе части неравенства на $U_{max}$:

$|\sin(\omega t)| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь найдем, какую часть периода $\text{T}$ выполняется это условие. Рассмотрим один полный период изменения фазы $\phi = \omega t$ от $\text{0}$ до $2\pi$.

Неравенство $|\sin(\phi)| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется в двух интервалах за один период:

1. В первом полупериоде, когда $\sin(\phi) \ge 0$, неравенство принимает вид $\sin(\phi) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это верно для фаз в интервале от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$. Длительность этого интервала по фазе составляет $\Delta\phi_1 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2. Во втором полупериоде, когда $\sin(\phi) < 0$, неравенство принимает вид $-\sin(\phi) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $\sin(\phi) \le -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это верно для фаз в интервале от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$. Длительность этого интервала по фазе также составляет $\Delta\phi_2 = \frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Суммарная угловая мера интервалов за один период, в течение которых лампа горит, равна:

$\Delta\phi_{свет} = \Delta\phi_1 + \Delta\phi_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

Искомая доля периода равна отношению суммарной угловой меры горения к полной угловой мере периода ($2\pi$):

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta\phi_{свет}}{2\pi} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$

Таким образом, неоновая лампа будет светить ровно половину каждого периода.

Ответ: Лампа будет светить $1/2$ часть периода.