Номер 5.101, страница 118 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.101, страница 118.

Условие.

5.101*. Действующее значение напряжения в цепи переменного тока равно 120 В. Определите время (в долях периода T), в течение которого горит неоновая лампа в каждый период, если напряжение зажигания лампы 84 В.

Решение.

Дано:

$U_{действ} = 120$ В

$U_{заж} = 84$ В

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$\frac{\Delta t}{T}$ — долю периода, в течение которого горит лампа.

Решение:

Мгновенное значение напряжения в цепи переменного тока изменяется по синусоидальному закону:

$u(t) = U_m \sin(\omega t) = U_m \sin(\frac{2\pi}{T}t)$

где $u(t)$ – мгновенное напряжение, $U_m$ – амплитудное значение напряжения, $\omega$ – циклическая частота, а $\text{T}$ – период колебаний.

Амплитудное значение напряжения $U_m$ связано с действующим (среднеквадратичным) значением $U_{действ}$ соотношением:

$U_m = U_{действ} \cdot \sqrt{2}$

Подставим известное значение:

$U_m = 120 \cdot \sqrt{2} \approx 169.7$ В.

Неоновая лампа горит в те моменты времени, когда модуль мгновенного напряжения $|u(t)|$ не меньше напряжения зажигания $U_{заж}$:

$|u(t)| \ge U_{заж}$

Подставим в это неравенство выражение для мгновенного напряжения:

$|U_m \sin(\frac{2\pi}{T}t)| \ge U_{заж}$

Поскольку $U_m \approx 169.7$ В, а $U_{заж} = 84$ В, условие $U_m > U_{заж}$ выполняется, и лампа будет периодически загораться.

Для определения времени горения найдем моменты времени $t_1$ и $t_2$ в течение первой половины периода ($0 \le t \le T/2$), когда мгновенное напряжение равно напряжению зажигания. В эти моменты лампа загорается и гаснет.

$U_m \sin(\frac{2\pi}{T}t) = U_{заж}$

Отсюда:

$\sin(\frac{2\pi}{T}t) = \frac{U_{заж}}{U_m}$

Лампа будет гореть, когда фаза $\phi = \frac{2\pi}{T}t$ находится в диапазоне от $\phi_1$ до $\phi_2$, где:

$\phi_1 = \arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

$\phi_2 = \pi - \phi_1 = \pi - \arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

Моменты времени, соответствующие этим фазам:

$t_1 = \frac{T}{2\pi}\phi_1 = \frac{T}{2\pi}\arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

$t_2 = \frac{T}{2\pi}\phi_2 = \frac{T}{2} - \frac{T}{2\pi}\arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m}) = \frac{T}{2} - t_1$

Продолжительность горения лампы в первой половине периода равна:

$\Delta t_1 = t_2 - t_1 = (\frac{T}{2} - t_1) - t_1 = \frac{T}{2} - 2t_1 = \frac{T}{2} - \frac{T}{\pi}\arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

В силу симметрии синусоидального напряжения, во второй половине периода лампа будет гореть такой же промежуток времени $\Delta t_2 = \Delta t_1$.

Суммарное время горения $\Delta t$ за один полный период $\text{T}$ составляет:

$\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 2\Delta t_1 = T - \frac{2T}{\pi}\arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

Искомая доля периода, в течение которого горит лампа, равна:

$\frac{\Delta t}{T} = 1 - \frac{2}{\pi}\arcsin(\frac{U_{заж}}{U_m})$

Выполним вычисления. Сначала найдем отношение напряжений:

$\frac{U_{заж}}{U_m} = \frac{84}{120\sqrt{2}} = \frac{7}{10\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{20} \approx 0.495$

Теперь найдем арксинус этого значения (в радианах):

$\arcsin(0.495) \approx 0.5178$ рад

Подставим это значение в формулу для доли периода:

$\frac{\Delta t}{T} = 1 - \frac{2}{\pi} \cdot 0.5178 \approx 1 - \frac{1.0356}{3.1416} \approx 1 - 0.3296 \approx 0.6704$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\frac{\Delta t}{T} \approx 0.67$

Ответ: $\frac{\Delta t}{T} \approx 0.67$.