Номер 7.207, страница 174 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.207, страница 174.

Условие.

7.207* На оси $\text{OX}$ в точке $x_1 = 10$ см находится тонкая собирающая линза диаметром 2 см с фокусным расстоянием 5 см, а в точке $x_2 = 25$ см — тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием 10 см. Главные оптические оси обеих линз совпадают с осью $\text{OX}$. Световой пучок, идущий параллельно главной оптической оси, падает на поверхность первой линзы. Каков будет диаметр светового пятна на экране, расположенном в точке $x_3 = 50$ см?

Решение.

Дано:

Координата первой линзы $x_1 = 10 \text{ см}$
Диаметр первой линзы $D_1 = 2 \text{ см}$
Фокусное расстояние первой линзы $f_1 = 5 \text{ см}$
Координата второй линзы $x_2 = 25 \text{ см}$
Фокусное расстояние второй линзы $f_2 = 10 \text{ см}$
Координата экрана $x_3 = 50 \text{ см}$

$x_1 = 0.1 \text{ м}$
$D_1 = 0.02 \text{ м}$
$f_1 = 0.05 \text{ м}$
$x_2 = 0.25 \text{ м}$
$f_2 = 0.1 \text{ м}$
$x_3 = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$D_s$ — диаметр светового пятна на экране.

Решение:

1. Световой пучок, идущий параллельно главной оптической оси, после прохождения через первую собирающую линзу (Л1) сходится в ее заднем фокусе $F_1$. Найдем координату этого фокуса на оси ОХ:

$x_{F1} = x_1 + f_1 = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

2. В точке $F_1$ формируется действительное изображение бесконечно удаленного источника света. Это изображение, в свою очередь, является предметом для второй линзы (Л2). Найдем расстояние от этого предмета до второй линзы:

$d_2 = x_2 - x_{F1} = 25 \text{ см} - 15 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

3. Сравним полученное расстояние $d_2$ с фокусным расстоянием второй линзы $f_2 = 10 \text{ см}$. Мы видим, что $d_2 = f_2$. Это означает, что предмет для второй линзы находится в ее переднем фокусе. Согласно правилам построения изображений, если точечный источник света (предмет) находится в фокусе собирающей линзы, то после преломления в линзе лучи распространяются параллельно главной оптической оси.

4. Таким образом, после прохождения второй линзы световой пучок станет параллельным. Диаметр этого пучка будет постоянным на любом расстоянии от второй линзы, а значит, диаметр светового пятна на экране будет равен диаметру пучка света на выходе из второй линзы.

5. Чтобы найти диаметр этого параллельного пучка, необходимо определить, на каком расстоянии от оси пройдет крайний луч, ограничивающий пучок. Этот луч изначально падает на край первой линзы на расстоянии ее радиуса $R_1$ от оси, а после преломления в Л1 проходит через ее фокус $F_1$. Радиус первой линзы равен:

$R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$.

6. Рассмотрим ход этого крайнего луча между линзами. Воспользуемся методом подобных треугольников, чтобы найти радиус светового пучка $R_2$ в плоскости второй линзы. Первый прямоугольный треугольник имеет катеты $R_1$ и $f_1$. Второй подобный ему треугольник имеет катеты $R_2$ (искомый радиус пучка на второй линзе) и $d_2$. Из подобия треугольников следует:

$\frac{R_2}{d_2} = \frac{R_1}{f_1}$

Выразим и вычислим $R_2$:

$R_2 = R_1 \cdot \frac{d_2}{f_1} = 1 \text{ см} \cdot \frac{10 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 2 \text{ см}$.

7. Так как пучок света после второй линзы параллелен оси, его радиус не изменяется. Следовательно, радиус светового пятна на экране $R_s$ равен $R_2$.

$R_s = R_2 = 2 \text{ см}$.

Диаметр светового пятна на экране $D_s$ равен удвоенному радиусу:

$D_s = 2 \cdot R_s = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: $\text{4}$ см.