Номер 7.245, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.245, страница 178.

Условие.

7.245*. Зрительная труба с фокусным расстоянием 50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние нужно передвинуть окуляр, чтобы ясно видеть предметы, удалённые от объектива на 50 м?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние объектива зрительной трубы, $F_{об} = 50$ см

Расстояние до наблюдаемого предмета, $d = 50$ м

В системе СИ:
$F_{об} = 0.5$ м
$d = 50$ м

Найти:

Расстояние, на которое нужно передвинуть окуляр, $\Delta x - ?$

Решение:

Когда зрительная труба настроена на бесконечность, это означает, что она сфокусирована на очень удаленных объектах. Лучи света от таких объектов приходят к объективу параллельным пучком и собираются им в задней фокальной плоскости. Таким образом, действительное изображение объекта, формируемое объективом, находится на расстоянии, равном его фокусному расстоянию, от центра объектива: $f_1 = F_{об}$.

Для того чтобы наблюдатель видел четкое изображение (с расслабленным глазом), окуляр располагается так, чтобы это промежуточное изображение находилось в его передней фокальной плоскости.

Когда труба наводится на объект, расположенный на конечном расстоянии $\text{d}$ от объектива, положение изображения, создаваемого объективом, изменяется. Новое расстояние $f_2$ от объектива до изображения можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_{об}}$

Выразим из этой формулы расстояние $f_2$:

$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_{об}} - \frac{1}{d} = \frac{d - F_{об}}{d \cdot F_{об}}$

$f_2 = \frac{d \cdot F_{об}}{d - F_{об}}$

Изображение, создаваемое объективом, сместилось из начального положения $f_1 = F_{об}$ в новое положение $f_2$. Чтобы снова получить четкое изображение, окуляр необходимо передвинуть на то же расстояние, на которое сместилось изображение. Это расстояние $\Delta x$ равно разности между новым и старым положением изображения:

$\Delta x = f_2 - f_1 = f_2 - F_{об}$

Подставим в это выражение формулу для $f_2$:

$\Delta x = \frac{d \cdot F_{об}}{d - F_{об}} - F_{об} = \frac{d \cdot F_{об} - F_{об}(d - F_{об})}{d - F_{об}} = \frac{d \cdot F_{об} - d \cdot F_{об} + F_{об}^2}{d - F_{об}} = \frac{F_{об}^2}{d - F_{об}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Для удобства вычислений переведем все величины в сантиметры:

$F_{об} = 50$ см

$d = 50$ м = $5000$ см

$\Delta x = \frac{(50 \text{ см})^2}{5000 \text{ см} - 50 \text{ см}} = \frac{2500 \text{ см}^2}{4950 \text{ см}} = \frac{250}{495} \text{ см} = \frac{50}{99}$ см

Вычислим приближенное значение:

$\Delta x \approx 0.505$ см или $5.05$ мм.

Поскольку $d > F_{об}$, то $f_2 > F_{об}$, это означает, что изображение отодвинулось от объектива. Следовательно, окуляр также нужно отодвинуть от объектива.

Ответ: окуляр нужно передвинуть на расстояние $\frac{50}{99}$ см, что примерно равно $5.05$ мм.