Номер 7.246, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.246, страница 178.

Условие.

7.246*. Телескоп, объектив которого имеет фокусное расстояние 1 м, а окуляр — 5 см, наведён на Луну, и её изображение сфокусировано на экран, расположенный на расстоянии 25 см от окуляра. Определите расстояние между объективом и окуляром, а также диаметр изображения, если угловой размер Луны $30'$.

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние объектива, $F_{об} = 1$ м

Фокусное расстояние окуляра, $F_{ок} = 5$ см

Расстояние от окуляра до экрана, $f_{ок} = 25$ см

Угловой размер Луны, $\alpha = 30'$

Перевод в систему СИ:

$F_{об} = 1$ м

$F_{ок} = 5 \text{ см} = 0.05$ м

$f_{ок} = 25 \text{ см} = 0.25$ м

$\alpha = 30' = (30/60)^\circ = 0.5^\circ = 0.5 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{360}$ рад

Найти:

Расстояние между объективом и окуляром, $\text{L}$

Диаметр изображения на экране, $\text{D}$

Решение:

1. Объектив телескопа формирует изображение далёкого объекта (Луны). Так как Луна находится практически в бесконечности, её изображение (промежуточное) будет находиться в фокальной плоскости объектива. Расстояние от объектива до этого изображения $d'_{об}$ равно фокусному расстоянию объектива:

$d'_{об} = F_{об} = 1$ м.

2. Размер (диаметр) этого промежуточного изображения $d_1$ можно определить через угловой размер Луны $\alpha$. Для малых углов, выраженных в радианах, можно считать, что $\tan(\alpha) \approx \alpha$. Тогда:

$d_1 = F_{об} \cdot \tan(\alpha) \approx F_{об} \cdot \alpha$

Подставим значения:

$d_1 = 1 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{360} \text{ рад} = \frac{\pi}{360}$ м.

3. Это промежуточное изображение является предметом для окуляра. Окуляр, как собирающая линза, строит действительное изображение на экране. Расстояние от предмета до окуляра ($d_{ок}$) можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F_{ок}} = \frac{1}{d_{ок}} + \frac{1}{f_{ок}}$

где $f_{ок}$ — расстояние от окуляра до изображения (экрана), которое дано в условии. Выразим отсюда $d_{ок}$:

$\frac{1}{d_{ок}} = \frac{1}{F_{ок}} - \frac{1}{f_{ок}} = \frac{f_{ок} - F_{ок}}{F_{ок} \cdot f_{ок}}$

$d_{ок} = \frac{F_{ок} \cdot f_{ок}}{f_{ок} - F_{ок}}$

Подставим числовые значения (для удобства в сантиметрах):

$d_{ок} = \frac{5 \text{ см} \cdot 25 \text{ см}}{25 \text{ см} - 5 \text{ см}} = \frac{125 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 6.25$ см $= 0.0625$ м.

4. Расстояние между объективом и окуляром $\text{L}$ равно сумме расстояния от объектива до промежуточного изображения и расстояния от промежуточного изображения до окуляра:

$L = d'_{об} + d_{ок} = F_{об} + d_{ок}$

$L = 1 \text{ м} + 0.0625 \text{ м} = 1.0625$ м.

5. Диаметр конечного изображения $\text{D}$ на экране определяется линейным увеличением окуляра $\Gamma_{ок}$. Увеличение равно отношению размера изображения к размеру предмета, а также отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma_{ок} = \frac{D}{d_1} = \frac{f_{ок}}{d_{ок}}$

Отсюда выражаем $\text{D}$:

$D = d_1 \cdot \frac{f_{ок}}{d_{ок}}$

Подставим значения:

$D = \frac{\pi}{360} \text{ м} \cdot \frac{0.25 \text{ м}}{0.0625 \text{ м}} = \frac{\pi}{360} \cdot 4 = \frac{\pi}{90}$ м.

Переведём в сантиметры для наглядности:

$D = \frac{\pi}{90} \times 100 \text{ см} \approx 3.49$ см.

Ответ: расстояние между объективом и окуляром составляет $1.0625$ м, диаметр изображения — примерно $3.49$ см.