Номер 7.247, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.247, страница 178.

Условие.

7.247*. Зрительная труба, объектив которой имеет фокусное расстояние 25 см, установлена на бесконечность. Для того чтобы навести зрительную трубу на дерево, пришлось выдвинуть окуляр на 6,5 мм. Каково расстояние до дерева?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние объектива, $f_{об} = 25$ см

Смещение окуляра, $\Delta L = 6,5$ мм

Перевод в систему СИ:

$f_{об} = 0,25$ м

$\Delta L = 0,0065$ м

Найти:

$\text{d}$ — расстояние до дерева

Решение:

Зрительная труба состоит из объектива и окуляра. Когда труба настроена на бесконечность, это означает, что параллельные лучи света от очень удаленного объекта собираются объективом в его задней фокальной плоскости. Расстояние от объектива до изображения $f_1$ в этом случае равно фокусному расстоянию объектива $f_{об}$.

Когда мы наводим трубу на объект (дерево), расположенный на конечном расстоянии $\text{d}$, объектив создает его действительное изображение на расстоянии $f'$, которое можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{f_{об}}$

Поскольку объект теперь находится ближе, чем бесконечность ($d < \infty$), его изображение $f'$ будет находиться дальше фокусной плоскости ($f' > f_{об}$).

Чтобы четко видеть это новое изображение через окуляр, его нужно отодвинуть от объектива на такое расстояние, чтобы изображение, созданное объективом, снова оказалось в фокусе окуляра. В условии сказано, что окуляр пришлось выдвинуть на $\Delta L = 6,5$ мм. Это смещение как раз равно разности между новым и старым положениями изображения, формируемого объективом:

$\Delta L = f' - f_{об}$

Отсюда мы можем выразить новое расстояние до изображения $f'$:

$f' = f_{об} + \Delta L$

Теперь подставим это выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_{об} + \Delta L} = \frac{1}{f_{об}}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{d}$:

$\frac{1}{d} = \frac{1}{f_{об}} - \frac{1}{f_{об} + \Delta L}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{d} = \frac{(f_{об} + \Delta L) - f_{об}}{f_{об}(f_{об} + \Delta L)} = \frac{\Delta L}{f_{об}(f_{об} + \Delta L)}$

Наконец, выразим искомое расстояние $\text{d}$:

$d = \frac{f_{об}(f_{об} + \Delta L)}{\Delta L}$

Подставим числовые значения, предварительно переведенные в систему СИ:

$d = \frac{0,25 \text{ м} \cdot (0,25 \text{ м} + 0,0065 \text{ м})}{0,0065 \text{ м}} = \frac{0,25 \cdot 0,2565}{0,0065} \text{ м} = \frac{0,064125}{0,0065} \text{ м} \approx 9,87 \text{ м}$

Ответ: расстояние до дерева составляет примерно 9,87 м.