Номер 8.2, страница 180 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.2, страница 180.

Условие.

8.2. Две когерентные световые волны в результате интерференции взаимно погашаются в некоторой области. Не нарушается ли при этом закон сохранения энергии?

Решение.

8.2. Нет, закон сохранения энергии при интерференции световых волн не нарушается. Явление интерференции заключается не в исчезновении или появлении энергии, а в её перераспределении в пространстве.

Когда две когерентные световые волны накладываются друг на друга, в одних точках пространства они гасят друг друга (это области минимумов, или деструктивной интерференции), а в других — усиливают (области максимумов, или конструктивной интерференции). Энергия, которая "исчезает" в областях минимумов, на самом деле перераспределяется в области максимумов, делая их еще ярче.

Рассмотрим это с математической точки зрения. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Пусть интенсивность каждой из двух когерентных волн равна $I_0$. Если бы интерференции не было, то суммарная интенсивность в любой точке была бы просто $I_{сум} = I_0 + I_0 = 2I_0$.

При интерференции результирующая интенсивность $\text{I}$ в точке зависит от разности фаз $\delta$ между волнами в этой точке и определяется формулой:

$I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right)$

В точках, где волны взаимно погашаются (в минимумах), разность фаз такова, что $\cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) = 0$. В этих точках интенсивность действительно равна нулю: $I_{мин} = 0$.

Однако в точках, где волны усиливают друг друга (в максимумах), разность фаз такова, что $\cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) = 1$. Интенсивность в этих точках становится в четыре раза больше интенсивности одной волны: $I_{макс} = 4I_0$, что вдвое превышает простую сумму интенсивностей ($2I_0$).

Если рассчитать среднюю интенсивность по всей интерференционной картине, она будет равна сумме интенсивностей исходных волн. Среднее значение функции $\cos^2(x)$ за период равно $1/2$. Поэтому средняя интенсивность интерференционной картины составляет:

$\langle I \rangle = \langle 4I_0 \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) \rangle = 4I_0 \cdot \langle \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) \rangle = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$

Таким образом, средняя интенсивность в пространстве, где наблюдается интерференция, равна сумме интенсивностей исходных волн. Это означает, что полная энергия сохраняется, происходит лишь её перераспределение: из областей деструктивной интерференции она перемещается в области конструктивной интерференции.

Ответ: Закон сохранения энергии не нарушается. При интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве: в точках минимумов (где волны гасят друг друга) энергия уменьшается, а в точках максимумов (где волны усиливают друг друга) она на столько же увеличивается. Полная энергия светового потока остается неизменной.