Номер 8.6, страница 181 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.6, страница 181.

Условие.

8.6*. Для получения на экране $\text{MN}$ (рис. 8.4) интерференционной картины поместили точечный источник монохроматического света $\text{S}$ над поверхностью плоского зеркала на малом расстоянии от него.

а) Объясните причину возникновения когерентных световых волн в данной оптической системе (зеркало Ллойда).

б) Какова геометрическая и оптическая разность хода частей волны, приходящих в точку $\text{A}$?

Рис. 8.4

Решение.

а) В данной оптической системе, известной как зеркало Ллойда, на экран в точку А приходят две световые волны от одного источника S. Первая волна распространяется напрямую от источника S к точке А. Вторая волна сначала отражается от поверхности плоского зеркала, а затем также попадает в точку А. Отраженную волну можно рассматривать как волну, исходящую от мнимого источника S', который является зеркальным отражением реального источника S относительно плоскости зеркала. Поскольку обе волны (прямая и отраженная) порождены одним и тем же источником S, они имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени. Волны, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными. Именно интерференция этих двух когерентных волн и создает интерференционную картину на экране.

Ответ: Когерентные волны возникают в результате интерференции света, идущего напрямую от источника S, и света, отраженного от зеркала. Отраженная волна ведет себя так, как будто она исходит от мнимого источника S', являющегося зеркальным отражением S. Поскольку обе волны (от S и S') порождены одним и тем же реальным источником, они когерентны.

б)

Дано:

d - расстояние от источника S до зеркала

l - горизонтальное расстояние от источника до экрана MN

h - высота точки A на экране от плоскости зеркала

Найти:

$\Delta r$ - геометрическая разность хода

$\Delta$ - оптическая разность хода

Решение:

Как было объяснено в пункте а), в точку А приходят два луча. Первый луч идет по прямой от источника S до точки A. Его путь обозначим $r_1$. Второй луч отражается от зеркала. Путь этого луча эквивалентен пути от мнимого источника S', расположенного на расстоянии d под зеркалом, до точки A. Обозначим этот путь $r_2$.

Рассчитаем длины этих путей, используя теорему Пифагора. Введем систему координат, где зеркало лежит на оси x, а перпендикуляр к зеркалу, проходящий через источник S, является осью y. Тогда координаты источника $S(0, d)$, точки на экране $A(l, h)$ и мнимого источника $S'(0, -d)$.

Длина пути прямого луча $r_1$ равна расстоянию SA:

$r_1 = SA = \sqrt{(l-0)^2 + (h-d)^2} = \sqrt{l^2 + (h-d)^2}$

Длина пути отраженного луча $r_2$ равна расстоянию S'A:

$r_2 = S'A = \sqrt{(l-0)^2 + (h-(-d))^2} = \sqrt{l^2 + (h+d)^2}$

Геометрическая разность хода $\Delta r$ равна разности длин путей $r_2$ и $r_1$:

$\Delta r = r_2 - r_1 = \sqrt{l^2 + (h+d)^2} - \sqrt{l^2 + (h-d)^2}$

Оптическая разность хода $\Delta$ вычисляется по формуле $\Delta = n \cdot \Delta r$, где $\text{n}$ – показатель преломления среды. Так как свет распространяется в воздухе, показатель преломления $n \approx 1$. Поэтому в данном случае оптическая разность хода численно равна геометрической.

$\Delta = \Delta r = \sqrt{l^2 + (h+d)^2} - \sqrt{l^2 + (h-d)^2}$

Следует отметить, что при отражении света от оптически более плотной среды (от зеркала) фаза волны изменяется на $\pi$, что эквивалентно добавлению к разности хода величины $\lambda/2$ при анализе условий максимумов и минимумов интерференции. Однако сама по себе оптическая разность хода этим дополнительным сдвигом фазы не определяется.

Ответ: Геометрическая разность хода: $\Delta r = \sqrt{l^2 + (h+d)^2} - \sqrt{l^2 + (h-d)^2}$. Оптическая разность хода: $\Delta = \sqrt{l^2 + (h+d)^2} - \sqrt{l^2 + (h-d)^2}$.