Номер 8.10, страница 181 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.10, страница 181.

Условие.

8.10. Две когерентные световые волны достигают некоторой точки с разностью хода 2 мкм. Что произойдёт в этой точке — усиление или ослабление света? Рассмотрите случаи, когда свет:

а) красного цвета ($ \lambda_1 = 760 \text{ нм} $);

б) фиолетового цвета ($ \lambda_3 = 400 \text{ нм} $).

Решение.

Дано:

Разность хода волн, $\Delta d = 2 \text{ мкм}$

а) Длина волны красного света, $\lambda_1 = 760 \text{ нм}$

б) Длина волны фиолетового света, $\lambda_3 = 400 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta d = 2 \times 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda_1 = 760 \times 10^{-9} \text{ м} = 7.6 \times 10^{-7} \text{ м}$

$\lambda_3 = 400 \times 10^{-9} \text{ м} = 4.0 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Определить, будет ли в точке наблюдаться усиление или ослабление света для каждого случая.

Решение:

Результат интерференции двух когерентных световых волн зависит от их разности хода $\Delta d$ и длины волны $\lambda$.

Условие максимального усиления света (конструктивная интерференция) выполняется, когда разность хода равна целому числу длин волн:

$\Delta d = k \lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Условие максимального ослабления света (деструктивная интерференция) выполняется, когда разность хода равна нечетному числу полуволн (или полуцелому числу длин волн):

$\Delta d = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Чтобы определить, какой из случаев реализуется, найдем отношение разности хода $\Delta d$ к длине волны $\lambda$ для каждого цвета.

а) красного цвета ($\lambda_1 = 760$ нм)

Найдем отношение $\frac{\Delta d}{\lambda_1}$:

$\frac{\Delta d}{\lambda_1} = \frac{2 \text{ мкм}}{760 \text{ нм}} = \frac{2000 \text{ нм}}{760 \text{ нм}} = \frac{200}{76} = \frac{50}{19} \approx 2.63$

Полученное значение не является ни целым числом, ни полуцелым (вида $k+0.5$). Это значит, что в точке не будет ни полного усиления, ни полного ослабления света. В таких случаях, под "усилением" понимают ситуацию, когда результирующая интенсивность больше суммы интенсивностей исходных волн, а под "ослаблением" — когда она меньше. Это определяется знаком косинуса разности фаз $\Delta\varphi = 2\pi \frac{\Delta d}{\lambda}$. Если $\cos(\Delta\varphi) > 0$ — усиление, если $\cos(\Delta\varphi) < 0$ — ослабление.

Вычислим разность фаз для красного света:

$\Delta\varphi_1 = 2\pi \frac{\Delta d}{\lambda_1} = 2\pi \cdot \frac{50}{19} = \frac{100\pi}{19}$

Чтобы определить знак косинуса, приведем аргумент к интервалу $[0, 2\pi]$.

$\frac{100\pi}{19} = \frac{95\pi + 5\pi}{19} = 5\pi + \frac{5\pi}{19} = 4\pi + (\pi + \frac{5\pi}{19})$

$\cos(\Delta\varphi_1) = \cos(4\pi + \pi + \frac{5\pi}{19}) = \cos(\pi + \frac{5\pi}{19})$

Угол $(\pi + \frac{5\pi}{19})$ находится в третьей тригонометрической четверти, где косинус имеет отрицательное значение. Следовательно, $\cos(\Delta\varphi_1) < 0$, и в точке будет наблюдаться ослабление света.

Ответ: В этой точке произойдет ослабление света.

б) фиолетового цвета ($\lambda_3 = 400$ нм)

Найдем отношение $\frac{\Delta d}{\lambda_3}$:

$\frac{\Delta d}{\lambda_3} = \frac{2 \text{ мкм}}{400 \text{ нм}} = \frac{2000 \text{ нм}}{400 \text{ нм}} = 5$

Отношение является целым числом ($k=5$). Это означает, что разность хода равна целому числу длин волн:

$\Delta d = 5 \lambda_3$

Это является условием максимума интерференции, то есть в данной точке будет наблюдаться максимальное усиление света.

Ответ: В этой точке произойдет усиление света.