Номер 10.81, страница 207 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотоэффект - номер 10.81, страница 207.

Условие.

10.81. Поверхность некоторого металла поочерёдно освещают светом с длиной волны 350 и 450 нм. При этом максимальные скорости фотоэлектронов различаются в 2 раза. Найдите работу выхода электронов из этого металла.

Решение.

Дано:

$\lambda_1 = 350$ нм

$\lambda_2 = 450$ нм

$\frac{v_{max1}}{v_{max2}} = 2$

Постоянная Планка $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж$\cdot$с

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

$\lambda_1 = 350 \cdot 10^{-9}$ м

$\lambda_2 = 450 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

$A_{вых}$ - ?

Решение:

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта для двух случаев.

1. При освещении светом с длиной волны $\lambda_1$:

$E_1 = A_{вых} + E_{k1}$

где $E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}$ - энергия фотона, $A_{вых}$ - работа выхода электрона, $E_{k1} = \frac{m_e v_{max1}^2}{2}$ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e v_{max1}^2}{2}$ (1)

2. Аналогично, для длины волны $\lambda_2$:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + \frac{m_e v_{max2}^2}{2}$ (2)

Из условия задачи известно, что максимальные скорости фотоэлектронов различаются в 2 раза. Энергия падающего фотона обратно пропорциональна длине волны. Так как $\lambda_1 < \lambda_2$, то энергия фотонов в первом случае больше ($E_1 > E_2$), следовательно, и максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, и их скорость будут больше. Таким образом, $v_{max1} = 2v_{max2}$.

Подставим это соотношение в уравнение (1):

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e (2v_{max2})^2}{2} = A_{вых} + 4 \cdot \frac{m_e v_{max2}^2}{2}$ (3)

Мы получили систему из двух уравнений (2) и (3) с двумя неизвестными: $A_{вых}$ и кинетической энергией $\frac{m_e v_{max2}^2}{2}$.

Выразим кинетическую энергию $\frac{m_e v_{max2}^2}{2}$ из уравнения (2):

$\frac{m_e v_{max2}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых}$

Теперь подставим это выражение в уравнение (3):

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + 4 \left( \frac{hc}{\lambda_2} - A_{вых} \right)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно работы выхода $A_{вых}$:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{4hc}{\lambda_2} - 4A_{вых}$

$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{4hc}{\lambda_2} - 3A_{вых}$

$3A_{вых} = \frac{4hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1}$

$A_{вых} = \frac{1}{3} \left( \frac{4hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} \right) = \frac{hc}{3} \left( \frac{4}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$A_{вых} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3} \left( \frac{4}{450 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{350 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \right)$

$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-26} \left( \frac{4}{4.5 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{3.5 \cdot 10^{-7}} \right)$ Дж

$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-26} \cdot \frac{1}{10^{-7}} \left( \frac{4}{4.5} - \frac{1}{3.5} \right)$ Дж

Вычислим выражение в скобках:

$\frac{4}{4.5} - \frac{1}{3.5} = \frac{8}{9} - \frac{2}{7} = \frac{56-18}{63} = \frac{38}{63}$

Тогда:

$A_{вых} = 6.63 \cdot 10^{-19} \cdot \frac{38}{63} \approx 6.63 \cdot 10^{-19} \cdot 0.603 \approx 3.996 \cdot 10^{-19}$ Дж

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $A_{вых} \approx 4.0 \cdot 10^{-19}$ Дж.