Номер 11.142, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.142, страница 226.

Условие.

11.142* Какую минимальную энергию должна иметь $\alpha$-частица для осуществления ядерной реакции $^7_3\text{Li} + ^4_2\text{He} \rightarrow ^{10}_5\text{B} + ^1_0n$?

Решение.

Дано:

Ядерная реакция: ${}_3^7\text{Li} + {}_2^4\text{He} \rightarrow {}_5^{10}\text{B} + {}_0^1\text{n}$

Массы ядер и частиц в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m({}_3^7\text{Li}) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$m({}_2^4\text{He}) = 4.002603 \text{ а.е.м.}$

$m({}_5^{10}\text{B}) = 10.012937 \text{ а.е.м.}$

$m({}_0^1\text{n}) = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_0 = 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

Найти:

$E_{k, \alpha}^{\text{min}}$ - минимальная кинетическая энергия $\alpha$-частицы.

Решение:

Минимальная энергия, необходимая для осуществления ядерной реакции, определяется ее энергетическим выходом $\text{Q}$ и законами сохранения энергии и импульса. Сначала найдем энергетический выход реакции, который равен изменению энергии покоя в ходе реакции.

Энергетический выход $\text{Q}$ вычисляется через дефект масс $\Delta m$:

$Q = \Delta m c^2 = \left( (m({}_3^7\text{Li}) + m({}_2^4\text{He})) - (m({}_5^{10}\text{B}) + m({}_0^1\text{n})) \right) c^2$

Вычислим дефект масс в а.е.м.:

$\Delta m = (7.016004 + 4.002603) - (10.012937 + 1.008665)$

$\Delta m = 11.018607 - 11.021602 = -0.002995 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем энергетический выход $\text{Q}$ в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$Q = -0.002995 \text{ а.е.м.} \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx -2.79 \text{ МэВ}$

Поскольку $Q < 0$, реакция является эндотермической, то есть она идет с поглощением энергии. Эта энергия должна быть сообщена системе в виде кинетической энергии налетающей $\alpha$-частицы. Однако, в соответствии с законом сохранения импульса, не вся кинетическая энергия налетающей частицы может пойти на возбуждение реакции. Часть энергии сохраняется в виде кинетической энергии продуктов реакции.

Минимальная кинетическая энергия налетающей частицы (в данном случае $\alpha$-частицы), необходимая для протекания реакции (пороговая энергия), для неподвижной мишени (ядра лития) вычисляется по формуле:

$E_{k, \alpha}^{\text{min}} = |Q| \left(1 + \frac{m_{\alpha}}{m_{\text{Li}}}\right)$

где $m_{\alpha}$ — масса налетающей $\alpha$-частицы, а $m_{\text{Li}}$ — масса ядра-мишени. Отношение масс частиц можно с высокой точностью заменить отношением их массовых чисел ($\text{A}$):

$E_{k, \alpha}^{\text{min}} \approx |Q| \left(1 + \frac{A_{\alpha}}{A_{\text{Li}}}\right)$

Подставляем численные значения:

$E_{k, \alpha}^{\text{min}} \approx 2.79 \text{ МэВ} \cdot \left(1 + \frac{4}{7}\right) = 2.79 \text{ МэВ} \cdot \frac{11}{7} \approx 4.38 \text{ МэВ}$

Ответ: Минимальная энергия, которой должна обладать $\alpha$-частица, составляет 4.38 МэВ.